POJ 2635 - The Embarrassed Cryptographer


问题描述

给定一个大数K,K是两个大素数的乘积的值。

再给定一个int内的数L

问这两个大素数中最小的一个是否小于L,如果小于则输出这个素数。

解题思路

首先对题目的插图表示无语。。。

高精度求模+同余模定理,解题步骤:

1、 Char格式读入K。把K转成千进制Kt,同时变为int型。

把数字往大进制转换能够加快运算效率。若用十进制则耗费很多时间,会TLE。

千进制的性质与十进制相似。

例如,把 K=1234567890 转成千进制,就变成了: Kt=[ 1][234][567][890]

为了方便处理,我的程序是按“局部有序,全局倒序”模式存放 Kt

Kt=[890][567][234][1 ] (一个中括号代表一个数组元素)

2、 素数打表,把10^6内的素数全部预打表,在求模时则枚举到小于L为止。

注意打表不能只打到100W,要保证素数表中最大的素数必须大于 10^6,否则当 L=100W 且K为 GOOD 时,会因为数组越界而RE,这是因为越界后prime都是负无穷的数,枚举的 while(prime[pMin]<L) 循环会陷入死循环

3、 高精度求模

主要利用Kt数组和同余模定理。

例如要验证123是否被3整除,只需求模 124%3

但当123是一个大数时,就不能直接求,只能通过同余模定理对大数“分块”间接求模

具体做法是:

  • 先求 1%3 = 1
  • 再求 (1*10+2)%3 = 0
  • 再求 (0*10+4)%3 = 1

那么就间接得到 124%3=1,这是显然正确的

而且不难发现, (1*10+2)*10+4 = 124

这是在10进制下的做法,千进制也同理,*10 改为 *1000 就可以了

测试数据

AC 源码

//Memory Time
//624K  1235MS 

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

const int Range=1000100;  //打表不能只打到100W,素数表中最大的素数必须大于10^6

int Kt[10000];  //千进制的K
int L;
int prime[Range+1];

/*素数组打表*/
void PrimeTable(void)
{
    int pNum=0;
    prime[pNum++]=2;

    for(int i=3;i<=Range;i+=2)  //奇偶法
    {
        bool flag=true;
        for(int j=0;prime[j]*prime[j]<=i;j++)  //根号法+递归法
            if(!(i%prime[j]))
            {
                flag=false;
                break;
            }
        if(flag)
            prime[pNum++]=i;
    }
    return;
}

/*高精度K对p求模,因数检查(整除)*/
bool mod(const int* K,const int p,const int len)
{
    int sq=0;
    for(int i=len-1;i>=0;i--)  //千进制K是逆序存放
        sq=(sq*1000+K[i])%p;  //同余模定理

    if(!sq)   //K被整除
        return false;
    return true;
}

int main(void)
{
    PrimeTable();

    char K[10000];
    while(cin>>K>>L && L)
    {
        memset(Kt,0,sizeof(Kt));
        int lenK=strlen(K);
        for(int i=0;i<lenK;i++)  //把K转换为千进制Kt,其中Kt局部顺序,全局倒序
        {                      //如K=1234567=[  1][234][567] ,则Kt=[567][234][1  ]
            int pKt=(lenK+2-i)/3-1;
            Kt[pKt]=Kt[pKt]*10+(K[i]-'0');
        }
        int lenKt=(lenK+2)/3;

        bool flag=true;
        int pMin=0;  //能整除K且比L小的在prime中的最小素数下标
        while(prime[pMin]<L)  //枚举prime中比L小的素数
        {
            if(!mod(Kt,prime[pMin],lenKt))
            {
                flag=false;
                cout<<"BAD "<<prime[pMin]<<endl;
                break;
            }
            pMin++;
        }
        if(flag)
            cout<<"GOOD"<<endl;
    }
    return 0;
}

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