POJ 1837 - Balance


问题描述

有一个天平,天平左右两边各有若干个钩子,总共有C个钩子,有G个钩码,求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。

其中可以把天枰看做一个以x轴0点作为平衡点的横轴

输入:

2 4 //C 钩子数 与 G钩码数
-2 3 //负数:左边的钩子距离天平中央的距离;正数:右边的钩子距离天平中央的距离c[k]
3 4 5 8 //G个重物的质量w[i]

解题思路

提示:动态规划,01背包

初看此题第一个冲动就是穷举。。。。不过再细想肯定行不通, O(20^20)等着超时吧。。。

我也是看了前辈的意见才联想到01背包,用动态规划来解。

dp思路

每向天平中方一个重物,天平的状态就会改变,而这个状态可以由若干前一状态获得。

首先定义一个 平衡度 j 的概念

当平衡度j=0时,说明天枰达到平衡,j>0,说明天枰倾向右边(x轴右半轴),j<0则相反

那么此时可以把平衡度j看做为衡量当前天枰状态的一个值,

因此可以定义一个 状态数组 dp[i][j],意为在挂满前i个钩码时,平衡度为j的挂法的数量。

由于距离 c[i] 的范围是 -15~15,钩码重量的范围是 1~25,钩码数量最大是20

因此最极端的平衡度是所有物体都挂在最远端,因此平衡度最大值为 j=15*20*25=7500。原则上就应该有 dp[ 1~20 ][-7500 ~ 7500 ]

为了不让下标出现负数,做一个处理,使使得数组开为 dp[1~20][0~15000],则当 j=7500 时天枰为平衡状态。

那么每次挂上一个钩码后,对平衡状态的影响因素就是每个钩码的 力臂:

 力臂 = 重量 *臂长 = w[i] * c[k]

那么若在挂上第i个砝码之前,天枰的平衡度为j

 (换言之把前 i-1 个钩码全部挂上天枰后,天枰的平衡度为 j )

则挂上第i个钩码后,即把前i个钩码全部挂上天枰后,天枰的平衡度 j = j + w[i] * c[k]

 其中 c[k] 为天枰上钩子的位置,代表第i个钩码挂在不同位置会产生不同的平衡度

不难想到,假设 dp[i-1][j] 的值已知,设 dp[i-1][j] = num

  (即已知把前i-1个钩码全部挂上天枰后得到状态j的方法有num次)

 那么 dp[i][ j+ w[i]*c[k] ] = dp[i-1][j] = num

(即以此为前提,在第k个钩子挂上第i个钩码后,得到状态 j + w[i] * c[k] 的方法也为num次)

想到这里,利用递归思想,不难得出 状态方程 dp[i][ j + w[i] * c[k] ]= ∑(dp[i-1][j])

有些前辈推导方式稍微有点不同,得到的 状态方程为 dp[i][j] = ∑(dp[i-1][j - c[i] * w[i]])

其实两条方程是等价的,这个可以简单验证出来,而且若首先推导到第二条方程,也必须转化为第一条方程,这是为了避免下标出现负数。


结论: 最终转化为01背包问题

  • 状态方程: dp[i][ j + w[i] * c[k] ]= ∑(dp[i-1][j])
  • 初始化: dp[0][7500] = 1 不挂任何重物时天枰平衡,此为一个方法
  • 复杂度: O(C*G*15000) 完全可以接受

AC 源码

//Memory Time 
//1496K  0MS 

//我所使用的解题方法,由于dp状态方程组申请空间比较大大
//若dp为局部数组,则会部分机器执行程序时可能由于内存不足会无法响应
//所以推荐定义dp为全局数组,优先分配内存

#include<iostream>
using namespace std;

int dp[21][15001]; //状态数组dp[i][j]
                       //放入(挂上)前i个物品(钩码)后,达到j状态的方法数
int main(int i,int j,int k)
{
    int n;  //挂钩数
    int g;  //钩码数
    int c[21];  //挂钩位置
    int w[21];  //钩码重量


    /*Input*/

    cin>>n>>g;

    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>c[i];
    for(i=1;i<=g;i++)
        cin>>w[i];

    /*Initial*/

    memset(dp,0,sizeof(dp));  //达到每个状态的方法数初始化为0
    dp[0][7500]=1;     //7500为天枰达到平衡状态时的平衡度
                       //放入前0个物品后,天枰达到平衡状态7500的方法有1个,就是不挂钩码

    /*DP*/

    for(i=1;i<=g;i++)
        for(j=0;j<=15000;j++)
            if(dp[i-1][j])  //优化,当放入i-1个物品时状态j已经出现且被统计过方法数,则直接使用统计结果
                            //否则忽略当前状态j
                for(k=1;k<=n;k++)
                    dp[i][ j+w[i]*c[k] ] += dp[i-1][j]; //状态方程

    /*Output*/

    cout<<dp[g][7500]<<endl;
    return 0;
}

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