POJ 1408 - Fishnet


问题描述

一个1X1的正方形,每条边上有n个不同的点(不包括顶点),并给出它们的坐标。现在把对边相对应的点相连,将正方形分割成 (n+1)*(n+1) 个小四边形。问最大的四边形的面积是多少。

解题思路

计算几何求面积的题,算半条水题吧。。

基本思路:构造所有的线段,然后枚举每对水平-竖直线段,求交点,然后计算四边形面积,求最大值。

应用知识

  • ① 叉积(规范相交)
  • ② 多边形分解
  • ③ 三角形基于计算几何的面积公式(注意正负)

我先建立一个数学模型说明问题:

n=3 为例画图 (当然实际上内部的线不一定是正交的,这里只是为了简单说明)

第一步建立一个大小为 (n+2)*(n+2) 的二维交点矩阵node,每个元素存储一个交点坐标 (x,y)

由于四角交点为定点,每条边上的交点又是输入值,那么外围一圈的交点都是已知了

由于对边的点是对应相连的,因此要求的就是内部 n*n 个交点

显然地,所求的所有交点都是某两条直线规范相交所得,因此就可以直接使用求规范相交的交点的公式,而不需要套用模板了

交点公式 (及推导过程) 请参看 刘汝佳《算法艺术与信息学竞赛》P357 这里不再说明

通过两两枚举所有内部直线,就能得到 交点矩阵 node[][]


那么剩下的问题就是求出所有 简单四边形(不包含其他四边形) 的面积,输出最大的一个。那么问题就是:已知一个不规则四边形四个角的坐标,求它的面积

由于四边形是不规则的,直接求解其面积是非常困难的,唯有将其划分为两个三角形,分别求出两个三角形的面积,再相加。

如图,我求解所有四边形时都是采用如图的划分方法

那么问题进一步转化为“已知不规则三角形三个角的坐标,如何求其面积”

不用比较都看得出,计算几何的方法远远优于解析几何,不但省去计算一堆长度的麻烦(避免了精度误差),而且还能利用计算交点时 计算叉积的功能函数 cross()

使用计算几何,不但运算量大大减少了,代码也写少了,结果还更精确

不过有一点要注意的是,计算几何计算的面积是有方向的,即面积可能为负,所以绝对值必不可少,这点千万注意

AC 源码

//Memory Time 
//544K   16MS 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;

typedef class Node
{
    public:
        double x,y;
}location;

double det(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    return x1*y2-x2*y1;
}

double cross(location A,location B,location C,location D)       //计算 AB x CD
{
    return det(B.x-A.x , B.y-A.y , D.x-C.x , D.y-C.y);
}

/*Compute Intersection*/

double xx,yy;  //坐标返回值
void intersection(location A,location B,location C,location D)
{
    double area1=cross(A,B,A,C);
    double area2=cross(A,B,A,D);

    xx=(area2*C.x - area1*D.x)/(area2-area1);    //本题所求的交点一定是规范相交所得,因此无需判断是否规范相交
    yy=(area2*C.y - area1*D.y)/(area2-area1); 
    return;
}

/*Compute Area*/

double area(location A,location B,location C,location D)
{
    double triangle1=fabs(0.5*cross(A,B,A,C));    //用计算几何的方法计算的面积是有向面积
    double triangle2=fabs(0.5*cross(A,B,A,D));    //即算出来的面积可能为负数,因此必须用绝对值
                                                  // fabs() 为取double的绝对值函数
    return triangle1+triangle2;
}

int main(int i,int j,int k)
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        if(!n)
            break;

        /*Initial*/

        location** node=new location*[n+2];
        node[0]=new location[n+2];   //下边
        node[n+1]=new location[n+2]; //上边

        /*Input Down-edge*/

        node[0][0].x = node[0][0].y =0.0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>node[0][i].x;
            node[0][i].y=0.0;
        }
        node[0][n+1].x=1.0;
        node[0][n+1].y=0.0;

        /*Input Up-edge*/

        node[n+1][0].x=0.0;
        node[n+1][0].y=1.0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>node[n+1][i].x;
            node[n+1][i].y=1.0;
        }
        node[n+1][n+1].x=1.0;
        node[n+1][n+1].y=1.0;

        /*Input Left-edge*/

        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            node[i]=new location[n+2];
            cin>>node[i][0].y;
            node[i][0].x=0.0;
        }

        /*Input right-edge*/

        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>node[i][n+1].y;
            node[i][n+1].x=1.0;
        }

        /*Compute Intersection*/

        for(j=1;j<=n;j++)
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
                intersection(node[0][j],node[n+1][j],node[i][0],node[i][n+1]);
                node[i][j].x=xx;
                node[i][j].y=yy;
            }

        /*Compute Area*/

        double max_area=0.0;

        for(i=1;i<=n+1;i++)
            for(j=1;j<=n+1;j++)
            {
                double temp=area(node[i-1][j-1],node[i][j],node[i][j-1],node[i-1][j]);
                if(max_area < temp)
                    max_area = temp;
            }


        /*Output*/

        cout<<fixed<<setprecision(6)<<max_area<<endl;

        /*Realx Room*/

        delete[] node;
    }
    return 0;
}

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