- POJ 1408 - Fishnet
- Time: 1000MS
- Memory: 10000K
- 难度: 初级
- 分类: 多边形算法
问题描述
一个 1x1 的正方形，每条边上有 n 个不同的点（不包括顶点），并给出它们的坐标。现在把对边相对应的点相连，将正方形分割成 (n+1)*(n+1) 个小四边形。问最大的四边形的面积是多少。
解题思路
计算几何求面积的题，算半条水题吧。。
基本思路：构造所有的线段，然后枚举每对水平－竖直线段，求交点，然后计算四边形面积，求最大值。
应用知识：
- 叉积（规范相交）
- 多边形分解
- 三角形基于计算几何的面积公式（注意正负）
我先建立一个数学模型说明问题：
以 n=3 为例画图 （当然实际上内部的线不一定是正交的，这里只是为了简单说明）
第一步建立一个大小为 (n+2)*(n+2) 的二维交点矩阵 node，每个元素存储一个交点坐标 (x,y)
由于四角交点为定点，每条边上的交点又是输入值，那么外围一圈的交点都是已知了
由于对边的点是对应相连的，因此要求的就是内部 n*n 个交点
显然地，所求的所有交点都是某两条直线规范相交所得，因此就可以直接使用求规范相交的交点的公式，而不需要套用模板了
交点公式 (及推导过程) 请参看 刘汝佳《算法艺术与信息学竞赛》P357 这里不再说明。
通过两两枚举所有内部直线，就能得到 交点矩阵 node[][]
那么剩下的问题就是求出所有 简单四边形（不包含其他四边形） 的面积，输出最大的一个。可以转化问题为：已知一个不规则四边形四个角的坐标，求它的面积
由于四边形是不规则的，直接求解其面积是非常困难的，唯有将其划分为两个三角形，分别求出两个三角形的面积，再相加。
如图，我求解所有四边形时都是采用如图的划分方法
那么问题进一步转化为 “已知不规则三角形三个角的坐标，如何求其面积”
不用比较都看得出，计算几何的方法远远优于解析几何，不但省去计算一堆长度的麻烦（避免了精度误差），而且还能利用计算交点时 计算叉积的功能函数 cross()
使用计算几何，不但运算量大大减少了，代码也写少了，结果还更精确
不过有一点要注意的是，计算几何计算的面积是有方向的，即面积可能为负，所以绝对值必不可少，这点千万注意
AC 源码
//Memory Time
//544K 16MS
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef class Node
{
public:
double x,y;
}location;
double det(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
return x1*y2-x2*y1;
}
double cross(location A,location B,location C,location D) //计算 AB x CD
{
return det(B.x-A.x , B.y-A.y , D.x-C.x , D.y-C.y);
}
/*Compute Intersection*/
double xx,yy; //坐标返回值
void intersection(location A,location B,location C,location D)
{
double area1=cross(A,B,A,C);
double area2=cross(A,B,A,D);
xx=(area2*C.x - area1*D.x)/(area2-area1); //本题所求的交点一定是规范相交所得，因此无需判断是否规范相交
yy=(area2*C.y - area1*D.y)/(area2-area1);
return;
}
/*Compute Area*/
double area(location A,location B,location C,location D)
{
double triangle1=fabs(0.5*cross(A,B,A,C)); //用计算几何的方法计算的面积是有向面积
double triangle2=fabs(0.5*cross(A,B,A,D)); //即算出来的面积可能为负数，因此必须用绝对值
// fabs() 为取double的绝对值函数
return triangle1+triangle2;
}
int main(int i,int j,int k)
{
int n;
while(cin>>n)
{
if(!n)
break;
/*Initial*/
location** node=new location*[n+2];
node[0]=new location[n+2]; //下边
node[n+1]=new location[n+2]; //上边
/*Input Down-edge*/
node[0][0].x = node[0][0].y =0.0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>node[0][i].x;
node[0][i].y=0.0;
}
node[0][n+1].x=1.0;
node[0][n+1].y=0.0;
/*Input Up-edge*/
node[n+1][0].x=0.0;
node[n+1][0].y=1.0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>node[n+1][i].x;
node[n+1][i].y=1.0;
}
node[n+1][n+1].x=1.0;
node[n+1][n+1].y=1.0;
/*Input Left-edge*/
for(i=1;i<=n;i++)
{
node[i]=new location[n+2];
cin>>node[i][0].y;
node[i][0].x=0.0;
}
/*Input right-edge*/
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>node[i][n+1].y;
node[i][n+1].x=1.0;
}
/*Compute Intersection*/
for(j=1;j<=n;j++)
for(i=1;i<=n;i++)
{
intersection(node[0][j],node[n+1][j],node[i][0],node[i][n+1]);
node[i][j].x=xx;
node[i][j].y=yy;
}
/*Compute Area*/
double max_area=0.0;
for(i=1;i<=n+1;i++)
for(j=1;j<=n+1;j++)
{
double temp=area(node[i-1][j-1],node[i][j],node[i][j-1],node[i-1][j]);
if(max_area < temp)
max_area = temp;
}
/*Output*/
cout<<fixed<<setprecision(6)<<max_area<<endl;
/*Realx Room*/
delete[] node;
}
return 0;
}
