POJ 3252 - Round Numbers


问题描述

输入两个十进制正整数a和b,求闭区间 [a ,b] 内有多少个 Round number

所谓的 Round Number 就是把一个十进制数转换为一个无符号二进制数,若该二进制数中0的个数大于等于1的个数,则它就是一个Round Number

注意:

  • 转换所得的二进制数,最高位必然是1,最高位的前面不允许有0
    -规定输入范围: 1 <= a < b <= 2E

解题思路

很猥琐的题,我首先说说猥琐的地方,再说说解题思路,有四点很猥琐

  • (1)规定输入范围:1 <= a < b <= 2E

      输入的数是一个接近大数的非大数, int可以存储。网上看很多同学都说要用到精度,其实完全没必要,int能表示21E+的整数,精确的int极限能表示的正整数为2147483647,但是即使这样,面对这题也不能松懈啊! bin[] 边界的最小值为 35 !!
  • (2)bin[] 数组若果定义为局部数组,等着WA吧!

      我找不到任何原因为什么会这样,bin不管是全局定义 还是 局部定义,本地是完全AC的,上传就出问题了,局部WA,全局AC。

      我被迫把传参del掉,把bin改为全局,郁闷!
  • (3)组合数打表,同(1)的猥琐,c[][] 边界的最小值为33,就是说如果定义组合表的大小比 c[33][33] 小的,就等着RE吧!

      还有就是这个算法有一个违背常识的处理,要把 c[0][0]=1,不然某些最终结果会少1
  • (4)输入不能用循环输入 while(cin>>…) ,不然你就等着OLE (就是Output Limit Excessed,很少见吧!)。不知道数据库是怎么回事,输入竟然不会根据读取数据结束而结束,而是无限输出最后一次输入所得的结果……老老实实一次输出就end file吧!

组合数学题,(也属 递推数学,是因为杨辉三角和组合数之间的关系)

我根据我写的程序讲解好了。

要知道闭区间 [a ,b] 内有多少个Round number,只需要分别求出:

  • 闭区间 [0, a] 内有T个RN
  • 闭区间 [0, b+1] 内有S个RN
  • 再用 S – T 就是闭区间 [a, b] 内的RN数了

至于为什么是 b+1,因为对于闭区间 [0, k] ,我下面要说的算法求出的是比k小的RN数,就是说不管 k是不是RN, 都没有被计算在内,所以若要把闭区间 [a, b] 的边界a和b都计算在内,就要用上述的处理方法。

现在问题的关键就是如何求 [0, k] 内的RN数了

首先要把k转化为二进制数 bin-k ,并记录其位数(长度)len

那么首先计算长度小于len的RN数有多少(由于这些数长度小于len,那么他们的值一定小于k,因此在进行组合时就无需考虑组合所得的数与k之间的大小了)

for(i=1;i<bin[0]-1;i++)         //bin[0]记录的是二进制数的长度len
      for(j=i/2+1;j<=i;j++)
            sum+=c[i][j];

可以看到,i<len-1,之所以减1,是因为这些长度比len小的数,最高位一定是1,那么剩下可供放入数字的位数就要再减少一个了。

这条程序得到的sum为

1表示当前处理的二进制数的最高位,X表示该二进制数待放入数字的位。

显然这段程序把 二进制数0 排除在外了,这个是最终结果没有影响的,因为最后要把区间 [a, b] 首尾相减,0存不存在都一样了。

然后计算长度等于len的RN数有多少(由于这些数长度等于len,那么他们的值可能小于k,可能大于k,因此在进行组合时就要考虑组合所得的数与k之间的大小了)

int zero=0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数
for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)
    if(bin[i])   //当前位为1
        for(j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++)
        sum+=c[i-1][j];
    else
        zero++;

之所以初始化 i=bin[0]-1 ,是因为 bin[] 是逆向存放k的二进制的,因此要从高位向低位搜索,就要从 bin[] 后面开始,而要 bin[0]-1 ,是因为默认以后组合的数长度为len,且最高位为1,因此最高位不再搜索了。

现在问题的关键就是怎样使得以后组合的数小于k了

这个很简单:

从高位到低位搜索过程中,遇到当前位为0,则不处理,但要用计数器zero累计当前0出现的次数

遇到当前位为1,则先把它看做为0,zero+1,那么此时当前位 后面的 所有低位任意组合都会比k小,找出这些组合中RN的个数,统计完毕后把当前位恢复为原来的1,然后 zero-1,继续向低位搜索。


剩下的问题就是 当当前位为1时,把它看做0之后,怎样去组合后面的数了

此时组合要考虑2个方面:

  • (1)当前位置i后面允许组合的低位有多少个,我的程序由于bin是从 bin[1] 开始存储二进制数的,因此 当前位置i后面允许组合的低位有 i-1

  • (2) 组合前必须要除去前面已出现的0的个数zero

我的程序中初始化 j=(bin[0]+1)/2-(zero+1), j本来初始化为 (bin[0]+1)/2 就可以了,表示对于长度为 bin[0] 的二进制数,当其长度为偶数时,至少其长度一半的位数为0,它才是RN,当其长度为奇数时,至少其长度一半+1的位数为0,它才是RN。

但是现在还必须考虑前面出现了多少个0,根据前面出现的0的个数,j的至少取值会相应地减少。 -(zero+1) ,之所以 +1,是因为要把当前位 bin[i] 看做0


然后到了最后,剩下一个问题就是怎样得到每一个 的值,这个我发现很多同学都是利用打表做的,利用的就是 组合数 与 杨辉三角 的关系(建立一个二维数组 C[n], 就能看到他们之间关系密切啊!区别就是顶点的值,杨辉三角为1,组合数为0)

其实这个“关系”是有数学公式的:

好好体会一下吧!

其实组合数也可以直接用计算方法做(n的规模可以至少扩展到1000),不过这里n的规模只有26,打表应该是更快的,有兴趣学习用计算方法做组合数的同学可以联系我,这个要用另外的数学方法处理。

AC 源码

//Memory Time 
//224K   16MS  

#include<iostream>
using namespace std;

int c[33][33]={0};
int bin[35];  //十进制n的二进制数

/*打表,计算nCm*/

void play_table(void)
{
    for(int i=0;i<=32;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j || i==j)
                c[i][j]=1;
            else
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
//    c[0][0]=0;
    return;
}

/*十进制n转换二进制,逆序存放到bin[]*/

void dec_to_bin(int n)
{
    bin[0]=0;   //b[0]是二进制数的长度
    while(n)
    {
        bin[++bin[0]]=n%2;
        n/=2;
    }
    return;
}

/*计算比十进制数n小的所有RN数*/

int round(int n)
{
    int i,j;
    int sum=0;  //比十进制数n小的所有RN数
    dec_to_bin(n);

    /*计算长度小于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/

    for(i=1;i<bin[0]-1;i++)
        for(j=i/2+1;j<=i;j++)
            sum+=c[i][j];

    /*计算长度等于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/

    int zero=0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数
    for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)
        if(bin[i])   //当前位为1
            for(j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++)
                sum+=c[i-1][j];
        else
            zero++;

    return sum;
}

int main(void)
{
    play_table();

    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<round(b+1)-round(a)<<endl;

    return 0;
}

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