POJ 2262 - Goldbach's Conjecture


问题描述

无。

解题思路

筛法求素数。

AC 源码

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/*
    Author:     Exp
    Date:       2017-11-30
    Code:       POJ 2262
    Problem:    Goldbach's Conjecture
    URL:        http://poj.org/problem?id=2262
*/

/*
    题意分析:
     证明任意一个大于4的偶数n都可以写成两个奇素数(非2质数)之和, 其中n∈[6,1000000)且为偶数
     其实就是证明100万以内的哥德巴赫猜想.

    解题思路:
     主要分两步走:
     ① 求出100万以内所有素数
     ② 在这个素数集中找出两个奇素数,使其之和等于n(根据题意若存在多个组合则取差值最大的一组)

     第①步只需要打表做一次即可,
     第②步也不难:在素数表中找出比n小的最大一个素数x,
       若y=n-x也在素数表中, 且 x,y != 2,则x,y就是解;
       反之继续找比x小的下一个素数,重复这个步骤即可.

     那么问题在于第①步,如何快速找到100万内的所有素数。
     关于素数的求解方法,不外乎用到:
      定义:只能被1或者自身整除的自然数(不包括1),称为素数
      定理:如果一个数k是合数,那么它的最小质因数肯定<=sqrt(k) 
            由于一个自然数若不是合数则必是素数,这个定理可以反过来用于素数:
            如果一个数k是素数, 那么k必不能被<=sqrt(k)的所有整数整除
      算法:埃拉托斯特尼筛法,也简称筛法,是一种空间换时间算法.
            筛法主要用于求出某一个范围内的所有素数,而不用于判断某个数是否为素数.
            其主要思想是利用了合数定理, 剔除范围内所有合数,剩下的必是素数.
            例如要求 (1, n] 以内的所有素数:
              那么把2的所有倍数删掉(不包括2);
              在剩下的数中第一个是3,把3的所有倍数删掉(不包括3);
              在剩下的数中第一个是7,把7的所有倍数删掉(不包括7)......
              一直重复直到遍历完 (1, sqrt(n)] 范围内的所有数,那么剩下的就是这个范围内的素数


      常规情况下,
        使用定义+定理求解素数,时间复杂度约为O(n*sqrt(n)),超过千万级的话短时间内跑不动
        使用筛法求解素数,时间复杂度可达到O(n),但空间复杂度也达到了O(n)
*/

#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;


const static int LEN = 1000000;                            // 自然数数组长度(求解素数范围)
const static int SQRT_NUM = ceil(sqrt((double) LEN));    // 根据合数定理得到的质因数范围

/* 
 * 使用筛法找出自然数范围内的所有素数
 * @param primes 素数表
 */
void findPrimes(bool* primes);

/* 
 * 打印哥德巴赫猜想结果
 * @param primes 素数集
 * @param n 合数,取值范围 [6, 10000000)
 */
void printGoldbach(bool* primes, int n);

int main(void) {
    bool primes[LEN];        // 素数集, 标记每个自然数是否为素数
    findPrimes(primes);        // 找出范围内所有素数

    int n = 0;
    while(cin >> n && n > 0) {
        printGoldbach(primes, n);    // 打印哥德巴赫猜想的结果
    }
    return 0;
}


void findPrimes(bool* primes) {
    memset(primes, true, sizeof(bool) * LEN);    // 注意memset是按字节覆写内存的
    primes[0] = primes[1] = false;

    for(int i = 2; i <= SQRT_NUM; i++) {
        if(primes[i] == false) {
            continue;
        }

        // 筛掉最小素数的所有倍数
        int multiple = 2;    // i的倍率(因不包括自身, 从2倍开始)    
        while(true) {
            int mNum = i * multiple;    // i的倍数
            if(mNum >= LEN) {
                break;
            }
            primes[mNum] = false;
            multiple++;
        }
    }
}

void printGoldbach(bool* primes, int n) {
    int x, y = 0;
    for(x = 3; x < n; x++) {
        if(primes[x] == false) {
            continue;
        }

        if(primes[n - x] == true) {
            y = n - x;
            break;
        }
    }

    if(x > 0 && y > 0) {
        cout << n << " = " << x << " + " << y << endl;
    } else {
        cout << "Goldbach's conjecture is wrong." << endl;
    }
}

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