- POJ 2262 - Goldbach’s Conjecture
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- 难度: 初级
- 分类: 素数
0x00 POJ 原题
Description
In 1742, Christian Goldbach, a German amateur mathematician, sent a letter to Leonhard Euler in which he made the following conjecture:
Every even number greater than 4 can be
written as the sum of two odd prime numbers.
For example:
8 = 3 + 5. Both 3 and 5 are odd prime numbers.
20 = 3 + 17 = 7 + 13.
42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23.
Today it is still unproven whether the conjecture is right. (Oh wait, I have the proof of course, but it is too long to write it on the margin of this page.)
Anyway, your task is now to verify Goldbach’s conjecture for all even numbers less than a million.
Input
The input will contain one or more test cases.
Each test case consists of one even integer n with 6 <= n < 1000000.
Input will be terminated by a value of 0 for n.
Output
For each test case, print one line of the form n = a + b, where a and b are odd primes. Numbers and operators should be separated by exactly one blank like in the sample output below. If there is more than one pair of odd primes adding up to n, choose the pair where the difference b - a is maximized. If there is no such pair, print a line saying “Goldbach’s conjecture is wrong.”
Sample Input
8
20
42
0Sample Output
8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37Source
0x10 解题思路
筛法求素数。
0x20 AC 源码
/*
Author: Exp
Date: 2017-11-30
Code: POJ 2262
Problem: Goldbach's Conjecture
URL: http://poj.org/problem?id=2262
*/
/*
题意分析：
证明任意一个大于4的偶数n都可以写成两个奇素数（非2质数）之和, 其中n∈[6,1000000)且为偶数
其实就是证明100万以内的哥德巴赫猜想.
解题思路：
主要分两步走：
① 求出100万以内所有素数
② 在这个素数集中找出两个奇素数，使其之和等于n（根据题意若存在多个组合则取差值最大的一组）
第①步只需要打表做一次即可，
第②步也不难：在素数表中找出比n小的最大一个素数x，
若y=n-x也在素数表中, 且 x,y != 2，则x,y就是解；
反之继续找比x小的下一个素数，重复这个步骤即可.
那么问题在于第①步，如何快速找到100万内的所有素数。
关于素数的求解方法，不外乎用到：
定义：只能被1或者自身整除的自然数（不包括1），称为素数
定理：如果一个数k是合数，那么它的最小质因数肯定<=sqrt(k)
由于一个自然数若不是合数则必是素数，这个定理可以反过来用于素数：
如果一个数k是素数, 那么k必不能被<=sqrt(k)的所有整数整除
算法：埃拉托斯特尼筛法，也简称筛法，是一种空间换时间算法.
筛法主要用于求出某一个范围内的所有素数，而不用于判断某个数是否为素数.
其主要思想是利用了合数定理, 剔除范围内所有合数，剩下的必是素数.
例如要求 (1, n] 以内的所有素数：
那么把2的所有倍数删掉（不包括2）；
在剩下的数中第一个是3，把3的所有倍数删掉（不包括3）；
在剩下的数中第一个是7，把7的所有倍数删掉（不包括7）......
一直重复直到遍历完 (1, sqrt(n)] 范围内的所有数，那么剩下的就是这个范围内的素数
常规情况下，
使用定义+定理求解素数，时间复杂度约为O(n*sqrt(n))，超过千万级的话短时间内跑不动
使用筛法求解素数，时间复杂度可达到O(n)，但空间复杂度也达到了O(n)
*/
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;
const static int LEN = 1000000; // 自然数数组长度(求解素数范围)
const static int SQRT_NUM = ceil(sqrt((double) LEN)); // 根据合数定理得到的质因数范围
/*
* 使用筛法找出自然数范围内的所有素数
* @param primes 素数表
*/
void findPrimes(bool* primes);
/*
* 打印哥德巴赫猜想结果
* @param primes 素数集
* @param n 合数，取值范围 [6, 10000000)
*/
void printGoldbach(bool* primes, int n);
int main(void) {
bool primes[LEN]; // 素数集, 标记每个自然数是否为素数
findPrimes(primes); // 找出范围内所有素数
int n = 0;
while(cin >> n && n > 0) {
printGoldbach(primes, n); // 打印哥德巴赫猜想的结果
}
return 0;
}
void findPrimes(bool* primes) {
memset(primes, true, sizeof(bool) * LEN); // 注意memset是按字节覆写内存的
primes[0] = primes[1] = false;
for(int i = 2; i <= SQRT_NUM; i++) {
if(primes[i] == false) {
continue;
}
// 筛掉最小素数的所有倍数
int multiple = 2; // i的倍率（因不包括自身, 从2倍开始）
while(true) {
int mNum = i * multiple; // i的倍数
if(mNum >= LEN) {
break;
}
primes[mNum] = false;
multiple++;
}
}
}
void printGoldbach(bool* primes, int n) {
int x, y = 0;
for(x = 3; x < n; x++) {
if(primes[x] == false) {
continue;
}
if(primes[n - x] == true) {
y = n - x;
break;
}
}
if(x > 0 && y > 0) {
cout << n << " = " << x << " + " << y << endl;
} else {
cout << "Goldbach's conjecture is wrong." << endl;
}
}
