- POJ 2262 - Goldbach’s Conjecture
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- 难度: 初级
- 分类: 素数
问题描述
无。
解题思路
筛法求素数。
AC 源码
/*
Author: Exp
Date: 2017-11-30
Code: POJ 2262
Problem: Goldbach's Conjecture
URL: http://poj.org/problem?id=2262
*/
/*
题意分析：
证明任意一个大于4的偶数n都可以写成两个奇素数（非2质数）之和, 其中n∈[6,1000000)且为偶数
其实就是证明100万以内的哥德巴赫猜想.
解题思路：
主要分两步走：
① 求出100万以内所有素数
② 在这个素数集中找出两个奇素数，使其之和等于n（根据题意若存在多个组合则取差值最大的一组）
第①步只需要打表做一次即可，
第②步也不难：在素数表中找出比n小的最大一个素数x，
若y=n-x也在素数表中, 且 x,y != 2，则x,y就是解；
反之继续找比x小的下一个素数，重复这个步骤即可.
那么问题在于第①步，如何快速找到100万内的所有素数。
关于素数的求解方法，不外乎用到：
定义：只能被1或者自身整除的自然数（不包括1），称为素数
定理：如果一个数k是合数，那么它的最小质因数肯定<=sqrt(k)
由于一个自然数若不是合数则必是素数，这个定理可以反过来用于素数：
如果一个数k是素数, 那么k必不能被<=sqrt(k)的所有整数整除
算法：埃拉托斯特尼筛法，也简称筛法，是一种空间换时间算法.
筛法主要用于求出某一个范围内的所有素数，而不用于判断某个数是否为素数.
其主要思想是利用了合数定理, 剔除范围内所有合数，剩下的必是素数.
例如要求 (1, n] 以内的所有素数：
那么把2的所有倍数删掉（不包括2）；
在剩下的数中第一个是3，把3的所有倍数删掉（不包括3）；
在剩下的数中第一个是7，把7的所有倍数删掉（不包括7）......
一直重复直到遍历完 (1, sqrt(n)] 范围内的所有数，那么剩下的就是这个范围内的素数
常规情况下，
使用定义+定理求解素数，时间复杂度约为O(n*sqrt(n))，超过千万级的话短时间内跑不动
使用筛法求解素数，时间复杂度可达到O(n)，但空间复杂度也达到了O(n)
*/
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;
const static int LEN = 1000000; // 自然数数组长度(求解素数范围)
const static int SQRT_NUM = ceil(sqrt((double) LEN)); // 根据合数定理得到的质因数范围
/*
* 使用筛法找出自然数范围内的所有素数
* @param primes 素数表
*/
void findPrimes(bool* primes);
/*
* 打印哥德巴赫猜想结果
* @param primes 素数集
* @param n 合数，取值范围 [6, 10000000)
*/
void printGoldbach(bool* primes, int n);
int main(void) {
bool primes[LEN]; // 素数集, 标记每个自然数是否为素数
findPrimes(primes); // 找出范围内所有素数
int n = 0;
while(cin >> n && n > 0) {
printGoldbach(primes, n); // 打印哥德巴赫猜想的结果
}
return 0;
}
void findPrimes(bool* primes) {
memset(primes, true, sizeof(bool) * LEN); // 注意memset是按字节覆写内存的
primes[0] = primes[1] = false;
for(int i = 2; i <= SQRT_NUM; i++) {
if(primes[i] == false) {
continue;
}
// 筛掉最小素数的所有倍数
int multiple = 2; // i的倍率（因不包括自身, 从2倍开始）
while(true) {
int mNum = i * multiple; // i的倍数
if(mNum >= LEN) {
break;
}
primes[mNum] = false;
multiple++;
}
}
}
void printGoldbach(bool* primes, int n) {
int x, y = 0;
for(x = 3; x < n; x++) {
if(primes[x] == false) {
continue;
}
if(primes[n - x] == true) {
y = n - x;
break;
}
}
if(x > 0 && y > 0) {
cout << n << " = " << x << " + " << y << endl;
} else {
cout << "Goldbach's conjecture is wrong." << endl;
}
}
