POJ 1905 - Expanding Rods


问题描述

一根两端固定在两面墙上的杆 受热弯曲后变弯曲

求前后两个状态的杆的中点位置的距离

解题思路

几何二分的混合体

如图:

  • 蓝色为杆弯曲前,长度为L
  • 红色为杆弯曲后,长度为s
  • h是所求

依题意知 S=(1+n*C)*L

又从图中得到三条关系式:

  • (1)角度→弧度公式 θr = 1/2*s
  • (2)三角函数公式 sinθ= 1/2*L/r
  • (3)勾股定理 r^2 – (r – h)^2 = (1/2*L)^2

把四条关系式化简可以得到

逆向思维解二元方程组:

  • 要求(1)式的h,唯有先求r
  • 但是由于(2)式是三角函数式,直接求r比较困难

因此要用顺向思维解方程组

在h的值的范围内枚举h的值,计算出对应的r,判断这个r得到的(2)式的右边 与 左边的值S的大小关系( S = (1+n*C)*L

很显然的二分查找了。。。。。


那么问题只剩下 h 的范围是多少了

下界自然是0 (不弯曲) ,关键确定上界

题中提及到 Input data guarantee that no rod expands by more than one half of its original length.

意即输入的数据要保证没有一条杆能够延伸超过其初始长度的一半,

就是说 max(S) = 3/2 L

理论上把上式代入(1)(2)方程组就能求到h的最小上界,但是实际操作很困难

因此这里可以做一个范围扩展,把h的上界扩展到 1/2L,不难证明这个值必定大于h的最小上界,那么h的范围就为 0<=h<1/2L

这样每次利用下界low和上界high就能得到中间值mid,寻找最优的mid使得(2)式左右两边差值在精度范围之内,那么这个mid就是h。

另外,精度问题是必须注意的,由于数据都是double,当low无限接近high时, 若二分查找的条件为 while(low<high),会很容易陷入死循环,或者在得到要求的精度前就输出了不理想的“最优mid”

精度的处理方法参考我的程序。

AC 源码

//Memory Time 
//244K   0MS 

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<iomanip>
using namespace std;

const double esp=1e-5;   //最低精度限制

int main(void)
{
    double L,n,c,s;   //L:杆长 ,n:温度改变度 , c:热力系数  ,s:延展后的杆长(弧长)
    double h;    //延展后的杆中心 到 延展前杆中心的距离
    double r;   //s所在圆的半径

    while(cin>>L>>n>>c)
    {
        if(L<0 && n<0 && c<0)
            break;

        double low=0.0;    //下界
        double high=0.5*L; //  0 <= h < 1/2L   (1/2L并不是h的最小上界,这里做一个范围扩展是为了方便处理数据)

        double mid;
        s=(1+n*c)*L;
        while(high-low>esp)  //由于都是double,不能用low<high,否则会陷入死循环 
        {                    //必须限制low与high的精度差
            mid=(low+high)/2;
            r=(4*mid*mid+L*L)/(8*mid);

            if( 2*r*asin(L/(2*r)) < s )     //h偏小
                low=mid;
            else       //h偏大
                high=mid;
        }
        h=mid;

        cout<<fixed<<setprecision(3)<<h<<endl;
    }
    return 0;
}

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