- POJ 1426 - Find The Multiple
- Time: 1000MS
- Memory: 10000K
- 难度: 初级
- 分类: BFS
问题描述
给出一个整数n (1 <= n <= 200)。
求出任意一个它的倍数m，要求m必须只由十进制的 0 或 1 组成。
解题思路
首先暴力枚举肯定是不可能的 1000ms 想不超时都难，而且枚举还要解决大数问题。
解题方法： BFS+同余模定理
首先说说朴素的不剪枝搜索方法：
我以 n=6 为例
首先十进制数，开头第一个数字（最高位）一定不能为0，即最高位必为 1
设6的 “01十进制倍数” 为k，那么必有 k%6 = 0 ，现在就是要用BFS求k值：
1、先搜索k的最高位，最高位必为1，则此时 k=1，但 1%6 = 1 != 0
因此 k=1 不是所求，存储余数 1
2、搜索下一位，此时有两种可能：
下一位可能为 0，即 k*10+0，此时 k=10，那么 k%6=4
可能为 1，即 k*10+1，此时 k=11，那么 k%6=5
由于余数均不为0，即 k=10 与 k=11 均不是所求
3、继续搜索第三位，此时有四种可能了：
对于 k=10，
下一位可能为0，即 k*10+0，此时 k=100，那么 k%6=4
下一位可能为1，即 k*10+1，此时 k=101，那么 k%6=5
对于k=11，
下一位可能为0，即 k*10+0，此时 k=110，那么 k%6=2
下一位可能为1，即 k*10+1，此时 k=111，那么 k%6=3
由于余数均不为0，即 k=100，k=101，k=110，k=111 均不是所求
4、继续搜索第四位，此时有八种可能了：
对于k=100，
下一位可能为0，即 k*10+0，此时 k=1000，那么 k%6=4
下一位可能为1，即 k*10+1，此时 k=1001，那么 k%6=5
对于k=101，
下一位可能为0，即 k*10+0，此时 k=1010，那么 k%6=2
下一位可能为1，即 k*10+1，此时 k=1011，那么 k%6=3
对于k=110，
下一位可能为0，即 k*10+0，此时 k=1100，那么 k%6=2
下一位可能为1，即 k*10+1，此时 k=1101，那么 k%6=3
对于k=111，
下一位可能为0，即 k*10+0，此时 k=1110，那么 k%6=0
下一位可能为1，即 k*10+1，此时 k=1111，那么 k%6=1
我们发现 k=1110 时，k%6=0，即 1110 就是所求的倍数
从上面的演绎不难发现，用BFS是搜索 当前位数字 （除最高位固定为1），因为每一位都只有0或1两种选择，换而言之是一个双入口BFS。
本题难点在于搜索之后的处理：对余数的处理，对大数的处理，余数与所求倍数间的关系。
接下来说说处理大数问题和剪枝的方法：
首先我们简单回顾一下 朴素搜索 法：
n=6
1%6=1 (k=1)
{
(1*10+0)%6=4 (k=10)
{
(10*10+0)%6=4 (k=100)
{
(100*10+0)%6=4 (k=1000)
(100*10+1)%6=5 (k=1001)
}
(10*10+1)%6=5 (k=101)
{
(101*10+0)%6=2 (k=1010)
(101*10+1)%6=3 (k=1011)
}
}
(1*10+1)%6=5 (k=11)
{
(11*10+0)%6=2 (k=110)
{
(110*10+0)%6=2 (k=1100)
(110*10+1)%6=3 (k=1101)
}
(11\*10+1)%6=3 (k=111)
{
(111\*10+0)%6=0 (k=1110) 有解
(111\*10+1)%6=1 (k=1111) 由于前面有解，这个余数不存储
}
}
}从上面可以看出余数的存数顺序（逐层存储）：
用数组 mod[] 存储余数，其中 mod[0] 不使用，由 mod[1] 开始
那么mod中的余数依次为： 1 4 5 4 5 2 3 4 5 2 3 2 3 0 共14个
即说明我们得到 余数0 之前，做了14步 *10 的操作，那么当n值足够大的时候，是很容易出现k为大数的情况（事实上我做过统计，200以内的n，有18个n对应的k值为大数）
那么我们若再用int去存储k就显得不怎么明智了。
为了处理所有情况，我们自然会想到 是不是应该要用 int[] 去存储k的每一位？
而又由于k是一个01序列，那能不能把 *10 得到k每一位的问题 转化为模2的操作得到k的每一位(0或1) 呢？
答案是可以的。
首先我们利用 同余模定理 对得到余数的方式进行一个优化：
(a*b)%n = (a%n * b%n)%n
(a+b)%n = (a%n + b%n)%n随便抽取上面一条式子为例
- 前一步
(11*10+0)%6=2即k=110，k%6=2 - 当前步
(110*10+0)%6=2
由同余模定理 (110*10+0)%6 = ((110*10)%6+0%6)%6 = ((110%6 * 10%6)%6 + 0)%6 = (11*10+0)%6 = 2
所以当前步 (110*10+0)%6 可以转变为 (2*10+0)%6=2
很显然地，这种处理把 k=110 等价于 k=2
即用 前一步操作得到的余数 代替 当前步的k值
而n在200的范围内， 余数值不可能超过3位数， 这就解决了 大数的问题
通过这种处理手法，我们只需在BFS时顺手存储一个 余数数组 mod[] ，就能通过 mod[i-1] 得到 mod[i] ，直到 mod[i]==0 时结束，大大减少了运算时间
前面已经提到，n=6时，求余操作进行了14次，对应地，BFS时 *10 的操作也进行了14次。
令 i=14，通过观察发现，i%2 恰好就是 6 的倍数的最低位数字
i/2 再令 i%2 ，恰好就是 6 的倍数的 次低位数字。。。
循环这个操作，直到 i=0，就能得到 6的 01倍数(一个01队列)，倒序输出就是所求
这样就完成了 *10 操作到 %2 操作的过渡。
由于n值有限，只是1到200的整数，因此本题也可以用打表做，通过上面的方法得到结果后，就把 1 ~ 200 的倍数打印出来，重新建立一个程序，直接打表就可以了。
不过打表比上面介绍的方法快不了多少。
AC 源码
//Memory Time
//2236K 32MS
#include<iostream>
using namespace std;
int mod[524286]; //保存每次mod n的余数
//由于198的余数序列是最长的
//经过反复二分验证，436905是能存储198余数序列的最少空间
//但POJ肯定又越界测试了...524286是AC的最低下限，不然铁定RE
int main(int i)
{
int n;
while(cin>>n)
{
if(!n)
break;
mod[1]=1%n; //初始化，n倍数的最高位必是1
for(i=2;mod[i-1]!=0;i++) //利用同余模定理，从前一步的余数mod[i/2]得到下一步的余数mod[i]
mod[i]=(mod[i/2]*10+i%2)%n;
//mod[i/2]*10+i%2模拟了BFS的双入口搜索
//当i为偶数时，+0，即取当前位数字为0 。为奇数时，则+1,即取当前位数字为1
i--;
int pm=0;
while(i)
{
mod[pm++]=i%2; //把*10操作转化为%2操作，逆向求倍数的每一位数字
i/=2;
}
while(pm)
cout<<mod[--pm]; //倒序输出
cout<<endl;
}
return 0;
}
