- POJ 1020 - Anniversary Cake
- Time: 1000MS
- Memory: 10000K
- 难度: 中级
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问题描述
有一块边长为 BoxSize 的正方形的大蛋糕，现在给出n块不同尺寸的正方形的小蛋糕的边长，问是否能把大蛋糕按恰好切割为这n块小蛋糕，要求每块小蛋糕必须为整块。
解题思路
有技巧的 DFS。
可以把大蛋糕想象为一个蛋糕盒子，然后往里面装小蛋糕。
装蛋糕时遵循以下原则：
- 自下而上，自左至右：即先装好盒子底部，再继续往上层装，且装每一层时都靠左边放蛋糕；
- 大蛋糕优先装，因为小蛋糕灵活度比较高。
只要把问题变换为上述问题，我想对深搜比较熟悉的同学也会马上得到思路了，这个只是很简单的DFS思路。
但是本题的难点不在于怎样去 DFS，而是每放入一个蛋糕后，怎样去标记盒子已经放有蛋糕的位置？
我初始的做这题时，因为看到数据规模不大（Max_n=16，Max_size=10，那么大蛋糕最大也就 40*40 ），于是我把尺寸为BoxSize的盒子划分为 BoxSize*BoxSize 个 1*1 的格子，每放入一个大小为 size 的蛋糕，就用一个二重循环去标记 size*size 的格子。
最后是毫无悬念地 TLE 了。
看了别人的方法，发现或分格子的思路是正确的，但应该“按列标记”。不但把盒子看做多个 1*1 个格子，也把小蛋糕看做多个 1*1 的单位，建立一个一维数组 col[ BoxSize ] ，每放入一个蛋糕，则去记录每列的格子被填充的数目。
例如在第 2~4 列放入了一个 size=3 的小蛋糕，那么 col[2]+=3, col[3]+=3, col[4]+=3。
有同学会问，为什么行不用计数？要是放入蛋糕后，该蛋糕底部出现部分悬空怎么处理？这个情况是不会出现的，因为当前DFS遵循先把底部放满原则，要是出现悬空，则会回溯。
更具体的处理方法请看程序注释。
测试数据
AC 源码
//Memory Time
//208K 32MS
#include<iostream>
using namespace std;
int BoxSize; //盒子尺寸
int n; //蛋糕的总个数
int SizeNum[11]; //各种尺寸的蛋糕个数
int col[41]; //把盒子纵行分割成BoxSize*BoxSize个1*1大小的小格子
//col[i]记录第i列被填充了的格子数
bool DFS(int FillNum) //FillNum:已放入盒子的蛋糕数
{
if(FillNum==n)
return true;
/*寻找格子数被填充最少的列，靠左优先*/
int min=50;
int prow;
for(int i=1;i<=BoxSize;i++)
if(min>col[i])
{
min=col[i];
prow=i;
}
/*枚举各种尺寸的蛋糕自下而上地放入盒子*/
for(int size=10;size>=1;size--)
{
if(!SizeNum[size])
continue;
//检查尺寸为size的蛋糕放入盒子时在纵向和横向是否越界
if(BoxSize-col[prow]>=size && BoxSize-prow+1>=size)
{
//检查盒子从第prow列到第prow+size-1列，共size列的宽度wide中
//是否每列剩余的空间都足够放入高度为size的蛋糕
int wide=0;
for(int r=prow;r<=prow+size-1;r++)
{
if(col[r]<=col[prow]) //比较各列的"填充数"
{ //注意，这里若比较"未填充数"BoxSize-col[r]<size会TLE
wide++; //虽然两个条件等价，但确实计算了3秒左右，不知何故
continue;
}
break;
}
if(wide>=size)
{
int r;
//放入尺寸为size的蛋糕
SizeNum[size]--;
for(r=prow;r<=prow+size-1;r++)
col[r]+=size;
if(DFS(FillNum+1))
return true;
//回溯
SizeNum[size]++;
for(r=prow;r<=prow+size-1;r++)
col[r]-=size;
}
}
}
return false;
}
int main(void)
{
int test;
cin>>test;
for(int t=1;t<=test;t++)
{
memset(SizeNum,0,sizeof(SizeNum));
memset(col,0,sizeof(col));
cin>>BoxSize>>n;
int cnt=0; //记录size>(BoxSize/2)的蛋糕个数
int area=0; //计算所有蛋糕的面积之和
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int size;
cin>>size;
area+=size*size;
SizeNum[size]++;
if(size>BoxSize/2)
cnt++;
}
if(cnt>1 || area!=BoxSize*BoxSize)
{
cout<<"HUTUTU!"<<endl;
continue;
}
if(DFS(0))
cout<<"KHOOOOB!"<<endl;
else
cout<<"HUTUTU!"<<endl;
}
return 0;
}
