POJ 1015 - Jury Compromise


问题描述

在遥远的国家佛罗布尼亚,嫌犯是否有罪,须由陪审团决定。陪审团是由法官从公众中挑选的。先随机挑选n 个人作为陪审团的候选人,然后再从这n 个人中选m 人组成陪审团。选m 人的办法是:控方和辩方会根据对候选人的喜欢程度,给所有候选人打分,分值从0 到20。为了公平起见,法官选出陪审团的原则是:选出的m 个人,必须满足辩方总分D和控方总分P的差的绝对值|D-P|最小。如果有多种选择方案的|D-P| 值相同,那么选辩控双方总分之和D+P最大的方案即可。

输出

选取符合条件的最优m个候选人后,要求输出这m个人的辩方总值D和控方总值P,并升序输出他们的编号。

解题思路

动态规划

为叙述问题方便,现将任一选择方案中,辩方总分和控方总分之差简称为“辩控差”,辩方总分和控方总分之和称为“辩控和”。第i 个候选人的辩方总分和控方总分之差记为 V(i) ,辩方总分和控方总分之和记为 S(i)

现用 dp(j, k) 表示,取j 个候选人,使其辩控差为k 的所有方案中,辩控和最大的那个方案(该方案称为“方案 dp(j, k) ”)的辩控和。

并且,我们还规定,如果没法选j 个人,使其辩控差为k,那么 dp(j, k) 的值就为 -1,也称方案 dp(j, k) 不可行。本题是要求选出m 个人,那么,如果对k 的所有可能的取值,求出了所有的 dp(m, k) (-20×m≤ k ≤ 20×m),那么陪审团方案自然就很容易找到了。

问题的关键是建立递推关系。需要从哪些已知条件出发,才能求出 dp(j, k) 呢?显然,方案 dp(j, k) 是由某个可行的方案 dp(j-1, x)( -20×m ≤ x ≤ 20×m) 演化而来的。

可行方案 dp(j-1, x) 能演化成方案 dp(j, k) 的必要条件是:存在某个候选人i,而 i 在方案 dp(j-1, x)中没有被选上,且 x+V(i) = k。在所有满足该必要条件的 dp(j-1, x)中,选出 dp(j-1, x) + S(i) 的值最大的那个,那么方案 dp(j-1, x) 再加上候选人i,就演变成了方案 dp(j, k)

这中间需要将一个方案都选了哪些人都记录下来。不妨将方案 dp(j, k 中最后选的那个候选人的编号,记在二维数组的元素 path[j][k] 中。那么方案 dp(j, k) 的倒数第二个人选的编号,就是 path[j-1][k-V[path[j][k]]] 。假定最后算出了解方案的辩控差是k,那么从 path[m][k] 出发,就能顺藤摸瓜一步步回溯求出所有被选中的候选人。

初始条件,只能确定 dp(0, 0) = 0 ,其他均为 -1 。由此出发,一步步自底向上递推,就能求出所有的可行方案 dp(m, k)( -20×m ≤ k ≤ 20×m)。实际解题的时候,会用一个二维数组dp 来存放 dp(j, k) 的值。而且,由于题目中辩控差的值k 可以为负数,而程序中数租下标不能为负数,所以,在程序中不妨将辩控差的值都加上修正值 fix=400,以免下标为负数导致出错。

为什么 fix=400?这是很显然的,m上限为20人,当20人的d均为0,p均为20时,会出现辨控差为-400。修正后回避下标负数问题,区间整体平移,从 [-400,400] 映射到 [0,800]

此时初始条件修正为 dp(0, fix) = 0 ,其他均为 -1。

DP后,从第m行的 dp(m, fix) 开始往两边搜索最小 |D-P| 即可,第一个不为 dp[m][k]!=-1 的位置k就是最小 |D-P| 的所在。

最后就是求m个人的D和P,由于 D+P = dp(m, |D-P|)|D-P| 已知。

那么 D= (D+P + |D-P|)/2 , P=(D+P-|D-P|) / 2

计算D和P时注意修正值fix

AC 源码

//Memory Time 
//388K   16MS 

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n;  //候选人数
int m;  //当选人数
int dp[21][801];   //dp[j][k]:取j个候选人,使其辩控差为k的所有方案中,辩控和最大的方案的辩控和
int path[21][801];  //记录所选定的候选人的编号

/*回溯,确认dp[j][k]方案是否曾选择过候选人i*/
bool select(int j,int k,int i,int* v)
{
    while(j>0 && path[j][k]!=i)
    {
        k-=v[ path[j][k] ];
        j--;
    }
    return j?false:true;
}

int main(void)
{
    int time=1;
    while(cin>>n>>m && n)
    {
        /*Initial*/

        int j,k,i;
        int* p=new int[n+1];  //每个人的控方值
        int* d=new int[n+1];  //每个人的辩方值
        int* s=new int[n+1];  //每个人的辨控和
        int* v=new int[n+1];  //每个人的辨控差
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        memset(path,0,sizeof(path));

        /*Input*/

        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>p[i]>>d[i];

            s[i]=p[i]+d[i];
            v[i]=p[i]-d[i];
        }
        int fix=m*20;  //总修正值,修正极限为从[-400,400]映射到[0,800]

        /*DP*/

        dp[0][fix]=0;   //由于修正了数值,因此dp[0][fix]才是真正的dp[0][0]
        for(j=1;j<=m;j++)
            for(k=0;k<=2*fix;k++)
            {
                if(dp[j-1][k]>=0)   //区间已平移,dp[0][fix]才是真正的dp[0][0]
                {
                    for(i=1;i<=n;i++)
                        if(dp[j][ k+v[i] ] < dp[j-1][k]+s[i])
                        {
                            if(select(j-1,k,i,v))
                            {
                                dp[j][ k+v[i] ] = dp[j-1][k]+s[i];
                                path[j][ k+v[i] ] = i;
                            }
                        }
                }
            }


        /*Output*/

        for(k=0;k<=fix;k++)
            if(dp[m][fix-k]>=0 || dp[m][fix+k]>=0)    //从中间向两边搜索最小辨控差的位置k
                break;

        int div=dp[m][fix-k] > dp[m][fix+k] ? (fix-k):(fix+k);  //最小辨控差

        cout<<"Jury #"<<time++<<endl;
        cout<<"Best jury has value ";
        //辩方总值 = (辨控和+辨控差+修正值)/2
        cout<<(dp[m][div]+div-fix)/2<<" for prosecution and value ";
        //控方总值 = (辨控和-辨控差+修正值)/2
        cout<<(dp[m][div]-div+fix)/2<<" for defence:"<<endl;

        int* id=new int[m];
        for(i=0,j=m,k=div;i<m;i++)
        {
            id[i]=path[j][k];
            k-=v[ id[i] ];
            j--;
        }
        sort(id,id+m);   //升序输出候选人编号
        for(i=0;i<m;i++)
            cout<<' '<<id[i];
        cout<<endl<<endl;

        /*Relax*/

        delete p;
        delete d;
        delete s;
        delete v;
        delete id;
    }
    return 0;
}

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