- POJ 1015 - Jury Compromise
- Time: 1000MS
- Memory: 65536K
- 难度: 初级
- 分类: 动态规划
问题描述
在遥远的国家佛罗布尼亚，嫌犯是否有罪，须由陪审团决定。
陪审团是由法官从公众中挑选的。先随机挑选n 个人作为陪审团的候选人，然后再从这 n 个人中选 m 人组成陪审团。
选 m 人的办法是：控方和辩方会根据对候选人的喜欢程度，给所有候选人打分，分值从 0 到 20。
为了公平起见，法官选出陪审团的原则是：选出的 m 个人，必须满足辩方总分 D 和控方总分 P 的差的绝对值 |D-P| 最小。如果有多种选择方案的 |D-P| 值相同，那么选辩控双方总分之和 D+P 最大的方案即可。
输出：
选取符合条件的最优 m 个候选人后，要求输出这 m 个人的辩方总值 D 和控方总值 P，并升序输出他们的编号。
解题思路
动态规划:
为叙述问题方便，现将任一选择方案中，辩方总分和控方总分之差简称为“辩控差”，辩方总分和控方总分之和称为“辩控和”。第 i 个候选人的辩方总分和控方总分之差记为 V(i) ，辩方总分和控方总分之和记为 S(i)。
现用 dp(j, k) 表示，取 j 个候选人，使其辩控差为 k 的所有方案中，辩控和最大的那个方案（该方案称为“方案 dp(j, k) ”）的辩控和。
并且，我们还规定，如果没法选 j 个人，使其辩控差为 k，那么 dp(j, k) 的值就为 -1，也称方案 dp(j, k) 不可行。本题是要求选出 m 个人，那么，如果对 k 的所有可能的取值，求出了所有的 dp(m, k) (-20×m≤ k ≤ 20×m)，那么陪审团方案自然就很容易找到了。
问题的关键是建立递推关系。需要从哪些已知条件出发，才能求出 dp(j, k) 呢？显然，方案 dp(j, k) 是由某个可行的方案 dp(j-1, x)( -20×m ≤ x ≤ 20×m) 演化而来的。
可行方案 dp(j-1, x) 能演化成方案 dp(j, k) 的必要条件是：存在某个候选人 i，而 i 在方案 dp(j-1, x)中没有被选上，且 x+V(i) = k。在所有满足该必要条件的 dp(j-1, x)中，选出 dp(j-1, x) + S(i) 的值最大的那个，那么方案 dp(j-1, x) 再加上候选人 i，就演变成了方案 dp(j, k)。
这中间需要将一个方案都选了哪些人都记录下来。不妨将方案 dp(j, k) 中最后选的那个候选人的编号，记在二维数组的元素 path[j][k] 中。那么方案 dp(j, k) 的倒数第二个人选的编号，就是 path[j-1][k-V[path[j][k]]] 。假定最后算出了解方案的辩控差是 k，那么从 path[m][k] 出发，就能顺藤摸瓜一步步回溯求出所有被选中的候选人。
初始条件，只能确定 dp(0, 0) = 0 ，其他均为 -1 。由此出发，一步步自底向上递推，就能求出所有的可行方案 dp(m, k)( -20×m ≤ k ≤ 20×m)。实际解题的时候，会用一个二维数组 dp 来存放 dp(j, k) 的值。而且，由于题目中辩控差的值 k 可以为负数，而程序中数租下标不能为负数，所以，在程序中不妨将辩控差的值都加上修正值 fix=400，以免下标为负数导致出错。
为什么 fix=400？这是很显然的，m 上限为 20 人，当 20 人的 d 均为 0、p 均为 20 时，会出现辨控差为 -400。修正后回避下标负数问题，区间整体平移，从 [-400,400] 映射到 [0,800] 。
此时初始条件修正为 dp(0, fix) = 0 ，其他均为 -1。
DP 后，从第 m 行的 dp(m, fix) 开始往两边搜索最小 |D-P| 即可，第一个不为 dp[m][k]!=-1 的位置k就是最小 |D-P| 的所在。
最后就是求 m 个人的 D 和 P，由于 D+P = dp(m, |D-P|) ，|D-P| 已知。
那么 D= (D+P + |D-P|)/2, P=(D+P-|D-P|) / 2
计算 D 和 P 时注意修正值 fix
AC 源码
//Memory Time
//388K 16MS
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n; //候选人数
int m; //当选人数
int dp[21][801]; //dp[j][k]：取j个候选人，使其辩控差为k的所有方案中，辩控和最大的方案的辩控和
int path[21][801]; //记录所选定的候选人的编号
/*回溯，确认dp[j][k]方案是否曾选择过候选人i*/
bool select(int j,int k,int i,int* v)
{
while(j>0 && path[j][k]!=i)
{
k-=v[ path[j][k] ];
j--;
}
return j?false:true;
}
int main(void)
{
int time=1;
while(cin>>n>>m && n)
{
/*Initial*/
int j,k,i;
int* p=new int[n+1]; //每个人的控方值
int* d=new int[n+1]; //每个人的辩方值
int* s=new int[n+1]; //每个人的辨控和
int* v=new int[n+1]; //每个人的辨控差
memset(dp,-1,sizeof(dp));
memset(path,0,sizeof(path));
/*Input*/
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>p[i]>>d[i];
s[i]=p[i]+d[i];
v[i]=p[i]-d[i];
}
int fix=m*20; //总修正值，修正极限为从[-400,400]映射到[0,800]
/*DP*/
dp[0][fix]=0; //由于修正了数值，因此dp[0][fix]才是真正的dp[0][0]
for(j=1;j<=m;j++)
for(k=0;k<=2*fix;k++)
{
if(dp[j-1][k]>=0) //区间已平移，dp[0][fix]才是真正的dp[0][0]
{
for(i=1;i<=n;i++)
if(dp[j][ k+v[i] ] < dp[j-1][k]+s[i])
{
if(select(j-1,k,i,v))
{
dp[j][ k+v[i] ] = dp[j-1][k]+s[i];
path[j][ k+v[i] ] = i;
}
}
}
}
/*Output*/
for(k=0;k<=fix;k++)
if(dp[m][fix-k]>=0 || dp[m][fix+k]>=0) //从中间向两边搜索最小辨控差的位置k
break;
int div=dp[m][fix-k] > dp[m][fix+k] ? (fix-k):(fix+k); //最小辨控差
cout<<"Jury #"<<time++<<endl;
cout<<"Best jury has value ";
//辩方总值 = （辨控和+辨控差+修正值）/2
cout<<(dp[m][div]+div-fix)/2<<" for prosecution and value ";
//控方总值 = （辨控和-辨控差+修正值）/2
cout<<(dp[m][div]-div+fix)/2<<" for defence:"<<endl;
int* id=new int[m];
for(i=0,j=m,k=div;i<m;i++)
{
id[i]=path[j][k];
k-=v[ id[i] ];
j--;
}
sort(id,id+m); //升序输出候选人编号
for(i=0;i<m;i++)
cout<<' '<<id[i];
cout<<endl<<endl;
/*Relax*/
delete p;
delete d;
delete s;
delete v;
delete id;
}
return 0;
}
