- POJ 3020 - Antenna Placement
- Time: 1000MS
- Memory: 65536K
- 难度: 初级
- 分类: 二分图
问题描述
一个矩形中，有N个城市 *，现在这n个城市都要覆盖无线，若放置一个基站，那么它至多可以覆盖相邻的两个城市。
问至少放置多少个基站才能使得所有的城市都覆盖无线？
解题思路
提示：
- 别被图片的圈圈误导了，看清楚题目
*是城市，o是空地- 椭圆的天线覆盖范围要覆盖的是城市
*, 而不是覆盖空地
思前想后，依稀可以认为是一道求二分图的最小路径覆盖问题（注意不是最小点覆盖）
那么接下来需要确认的是，究竟是求 有向二分图的最小路覆盖，还是求 无向二分图的最小路覆盖 ？
因为有向和无向是截然不同的计算方法。
要确认是构造有向图，还是构造无向图，那么就需要先根据题意，看看构造二分图时所使用的方式，更适合构造哪一种二分图。
然后就进入了 本题难点：如何构造二分图
构图：
首先要明确的是，输入的一堆“圈圈星星”可以看做是一张大地图，地图上有所有城市的坐标，但是这里有一个误区：不能简单地把城市的两个x、y坐标作为准备构造的二分图的两个顶点集。
城市才是要构造的二分图的顶点！
构造方法如下：
例如输入：
\*oo
\*\*\*
o\*o可以抽象为一个数字地图：
100
234
050数字就是根据输入的城市次序作为该城市的编号，0代表该位置没有城市。
然后根据题目的“范围”规则，从第一个城市开始，以自身作为中心城市，向四个方向的城市进行连线（覆盖）
因此就能够得到边集：
e12
e21 e23
e32 e34 e35
e43
e53可以看到，这些边都是有向边，但是每一条边都有与其对应的一条相反边。
即任意两个城市（顶点）之间的边是成对出现的
那么我们就可以确定下来，应该 构造无向二分图（其实无向=双向）
因为若要构造有向的二分图时，需要判断已出现的边，是很麻烦的工作
为了把有向图G构造为无向二分图，这里需要引入一个新名词“拆点”
其实就是把原有向图G的每一个顶点都”拆分”（我认为复制更准确）为2个点，分别属于所要构造的二分图的两个顶点集。
例如在刚才的例子中抽出一条有向边e12举例说明：
复制顶点1和顶点2，使得：
1，2∈V11', 2'∈V2- 不难发现
|V1|=|V2|
根据边e12和e21，得到无向二分图：
那么同理就可以得到刚才的例子的 无向二分图为：
再继而通过无向二分图，以V1的元素作为row，V2的元素作为col，构造 可达矩阵 存储到计算机：
| - | 1’| 2’| 3’| 4’| 5’|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 1 | F | T | F | F | F |
| 2 | T | F | T | F | F |
| 3| F | T | F | T | T |
| 4 | F | F | T | F | F |
| 5 | F | F | T | F | F |接下来就是要求这个 无向二分图的最小路径覆盖 了
利用公式： 无向二分图的最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数/2
顶点数：就是用于构造无向二分图的城市数，即进行“拆点”操作前的顶点数量
最大二分匹配书数所以要除以2，是因为进行了“拆点”操作，使得匹配总数多了一倍，因此除以2得到原图的真正的匹配数。
最后剩下的问题就是求最大二分匹配数了，用匈牙利算法，这就不多说了，参考 POJ3041 的做法，基本一摸一样。
从这道题得出了一个结论：
当二分图的两个顶点子集基数相等时，该二分图所有顶点的匹配数 等于 任意一个顶点子集匹配数的2倍
其实匈牙利算法解题是极为简单的，但是图论的难并不是难在解答，而是建图的过程，也难怪会有牛曰：用匈牙利算法，建图是痛苦的，最后是快乐的。
AC 源码
//Memory Time
//420K 16MS
#include<iostream>
using namespace std;
int ipmap[41][11]; //标记存在城市'*'的位置，并依次记录城市的编号
int ip; //城市编号（最终是城市数量）
int V1,V2; //二分图的两个顶点集
int M; //最大二分匹配
bool city[401][401]; //标记两个城市之间是否能连通
//通过“拆点”操作，把每一个城市拆分为2个，分别属于所构造的二分图的两个点集
bool vist[401];
int link[401];
int dire_r[4]={-1,1,0,0};
int dire_c[4]={0,0,-1,1}; //分别对应四个方位 上 下 左 右
/*Hungary Algorithm*/
bool dfs(int x)
{
for(int y=1;y<=V2;y++)
if(city[x][y] && !vist[y])
{
vist[y]=true;
if(link[y]==0 || dfs(link[y]))
{
link[y]=x;
return true;
}
}
return false;
}
void search(void)
{
for(int x=1;x<=V1;x++)
{
memset(vist,false,sizeof(vist));
if(dfs(x))
M++;
}
return;
}
int main(void)
{
int test,h,w;
cin>>test;
while(test--)
{
/*Initial*/
memset(ipmap,0,sizeof(ipmap));
memset(city,false,sizeof(city));
memset(link,0,sizeof(link));
ip=0;
M=0;
/*Read in the maps*/
cin>>h>>w;
int i,j;
char temp;
for(i=1;i<=h;i++)
for(j=1;j<=w;j++)
{
cin>>temp;
if(temp=='*')
ipmap[i][j]=++ip;
}
/*Structure the Bipartite Graphs*/
for(i=1;i<=h;i++)
for(j=1;j<=w;j++)
if(ipmap[i][j])
for(int k=0;k<4;k++)
{
int x=i+dire_r[k];
int y=j+dire_c[k];
if(ipmap[x][y])
city[ ipmap[i][j] ][ ipmap[x][y] ]=true; //"拆点"操作是"顺便"被完成的
} //二分图构造完毕后，之后的问题就和POJ3041一样处理了
V1=V2=ip;
/*增广轨搜索*/
search();
/*Output*/
cout<<ip-M/2<<endl; //无向二分图：最小路径覆盖数 = "拆点"前原图的顶点数 - 最大匹配数/2
}
return 0;
}
