- POJ 2513 - Colored Sticks
- Time: 5000MS
- Memory: 128000K
- 难度: 初级
- 分类: trie树
问题描述
给定一些木棒，木棒两端都涂上颜色，求是否能将木棒首尾相接，连成一条直线，要求不同木棒相接的一边必须是相同颜色的。
解题思路
可以用图论中欧拉路的知识来解这道题，首先可以把木棒两端看成节点，把木棒看成边，这样相同的颜色就是同一个节点。
问题便转化为：给定一个图，是否存在“一笔画”经过涂中每一点，以及经过每一边一次。
这样就是求图中是否存在欧拉路Euler-Path。
回顾经典的“七桥问题”，相信很多同学马上就明白了什么是 欧拉路 了，这里不多作解释。
由图论知识可以知道，无向图存在欧拉路的充要条件为：
- ① 图是连通的；
- ② 所有节点的度为偶数，或者有且只有两个度为奇数的节点。
其中①图的连通性用程序判断比较麻烦，先放一下。
这里先说说②关于度数的判断方法：
节点的度用颜色出现次数来统计，如样例中，蓝色blue出现三次（不管是出度还是入度），那么blue节点的度就为3，同样地，我们也可以通过输入得到其他全部节点的度，于是，我们有：
Blue=3
Red=2
Violet=1
Cyan=2
Magenta=2
用一个一维数组就能记录了，然后分别 模2，就能判断颜色节点的奇偶性。
只要奇度数的节点数的个数 ==1 或 >=3 ，即使①图连通，欧拉路也必不存在。
但是若 奇度数的节点数的个数 ==0 或 ==2，那么我们继续进行①图的连通性证明：
证明①图的连通性，使用并查集MergeSet是非常高效的方法。
基本方法：
初始化所输入的n个节点为n棵树，那么就有一个n棵树的森林，此时每棵树的有唯一的节点（根），该节点的祖先就是它本身。再通过不断地输入边，得到某两个节点（集合）之间的关系，进而合并这两个节点（集合），那么这两个集合就构成一个新的集合，集合内的所有节点都有一个共同的新祖先，就是这个集合（树）的根。
最后只要枚举任意一个节点，他们都具有相同的祖先，那么就能证明图时连通的了。
但是单纯使用并查集是会超时的，因为这样会导致每次寻找某个节点的祖先时，平均都会花费O(n/2)时间，最坏情况，当n==50W时，O(n/2)大概为25ms，那么要确定50W个节点是否有共同祖先时，总费时为 50W*25ms ，铁定超时。
因此必须使用并查集时必须压缩路径，前几次搜索某个节点k的祖先时，在不断通过父亲节点寻找祖先节点时，顺便把从k到最终祖先节点S中经过的所有节点的祖先都指向S，那么以后的搜索就能把时间降低到O(1)
由于并查集必须利用 数组的下标 与 存储的对象，使用int是比较方便的处理方法，但是题目的“颜色节点”是string，不方便用来使用并查集，即使用map也不行，虽然STL的map是基于hash的基础上，但并不高效，在本题中使用会超时。
为此可以使用Trie字典树，得到每个颜色单词对应的int编号id ，可以说利用Trie把string一一映射到int，是本题后续处理的关键所在。关于动态创建字典树的方法去百度，这里不多说，下面只用用一个图简单说明一下用Trie字典树标识第一个颜色单词blue：
这个题目涉及了多个基本数据结构和算法，综合性很强，非常有代表性，能够A到这题确实是受益良多。
知识考查点：
- 字典树
- 欧拉路径：其中又考察了判断是否为连通图
- 并查集 及其优化方法（路径压缩）
输出约束条件：
- POSSIBLE： 奇度数节点个数
==0或==2且 图连通 - IMPOSSIBLE：奇度数节点个数
==1或>=3或 图不连通
注意创建TrieTree链表时，C++不存在NULL，要用 0 替代 NULL
AC 源码
/* TrieTree + MergeSet + EulerPath*/
//Memory Time
//77460K 2047MS
#include<iostream>
using namespace std;
const int large=500000; //25W条棒子，有50W个端点
class TrieTree_Node //字典树节点
{
public:
bool flag; //标记到字典树从根到当前节点所构成的字符串是否为一个(颜色)单词
int id; //当前颜色(节点)的编号
TrieTree_Node* next[27];
TrieTree_Node() //initial
{
flag=false;
id=0;
memset(next,0,sizeof(next)); //0 <-> NULL
}
}root; //字典树根节点
int color=0; //颜色编号指针，最终为颜色总个数
int degree[large+1]={0}; //第id个节点的总度数
int ancestor[large+1]; //第id个节点祖先
/*寻找x节点的最终祖先*/
int find(int x)
{
if(ancestor[x]!=x)
ancestor[x]=find(ancestor[x]); //路径压缩
return ancestor[x];
}
/*合并a、b两个集合*/
void union_set(int a,int b)
{
int pa=find(a);
int pb=find(b);
ancestor[pb]=pa; //使a的祖先 作为 b的祖先
return;
}
//利用字典树构造字符串s到编号int的映射
int hash(char *s)
{
TrieTree_Node* p=&root; //从TrieTree的根节点出发搜索单词(单词不存在则创建)
int len=0;
while(s[len]!='\0')
{
int index=s[len++]-'a'; //把小写字母a~z映射到数字的1~26，作为字典树的每一层的索引
if(!p->next[index]) //当索引不存在时，构建索引
p->next[index]=new TrieTree_Node;
p=p->next[index];
}
if(p->flag) //颜色单词已存在
return p->id; //返回其编号
else //否则创建单词
{
p->flag=true;
p->id=++color;
return p->id; //返回分配给新颜色的编号
}
}
int main(void)
{
/*Initial the Merge-Set*/
for(int k=1;k<=large;k++) //初始化，每个节点作为一个独立集合
ancestor[k]=k; //对于只有一个节点x的集合，x的祖先就是它本身
/*Input*/
char a[11],b[11];
while(cin>>a>>b)
{
/*Creat the TrieTree*/
int i=hash(a);
int j=hash(b); //得到a、b颜色的编号
/*Get all nodes' degree*/
degree[i]++;
degree[j]++; //记录a、b颜色出现的次数(总度数)
/*Creat the Merge-Set*/
union_set(i,j);
}
/*Judge the Euler-Path*/
int s=find(1); //若图为连通图，则s为所有节点的祖先
//若图为非连通图，s为所有祖先中的其中一个祖先
int num=0; //度数为奇数的节点个数
for(int i=1;i<=color;i++)
{
if(degree[i]%2==1)
num++;
if(num>2) //度数为奇数的节点数大于3，欧拉路必不存在
{
cout<<"Impossible"<<endl;
return 0;
}
if(find(i)!=s) //存在多个祖先，图为森林，不连通
{
cout<<"Impossible"<<endl;
return 0;
}
}
if(num==1) //度数为奇数的节点数等于1，欧拉路必不存在
cout<<"Impossible"<<endl;
else //度数为奇数的节点数恰好等于2或不存在，存在欧拉路
cout<<"Possible"<<endl;
return 0;
}
