- POJ 1459 - Power Network
- Time: 1000MS
- Memory: 32768K
- 难度: 初级
- 分类: 最大流
问题描述
详见 http://poj.org/problem?id=1459
解题思路
多源多汇最大流问题。
提示： BFS找增广链 + 压入重标法
题目给出很多都是废话，特别是符号 s(u)， d(u)， Con 还有那条公式都别管，混淆视听。
难点在于构图：
- 电站p(u)均为源点
- 用户c(u)均为汇点
- 中转站当普通点处理
第一个误区是例图， 节点 和 边 都有 x/y （流量和容量），这个很容易使人产生矛盾（因为学习最大流问题是，只有 边 才有流量和容量）。
但是不难发现，题目所给的例图中有多个源点，多个汇点，多个普通点，只有源点和汇点才标有 x/y，普通点没有标 x/y，而且所给出的所有边都有 x/y。
这无疑在促使我们对图做一个变形： 构造一个超级源s，一个超级汇t，使s指向所有源点，并把源点的 容量y 分别作为这些边的 容量，使所有汇点指向t，并把汇点的容量y分别作为这些边的 容量，然后本来是源点和汇点的点，全部变为普通点。
这样就把“多源多汇最大流”变形为“单源单汇最大流”问题。
第二个误区就是流量值。 学习最大流问题时，会发现边上的流量值是给定初始值的，但是这题的输入只有容量，没有流量，很多人马上感觉到无从入手。其实边上的流量初始值为多少都没有所谓，解最大流需要用到的只有容量。但是一般为了方便起见， 会把所有边的流量初始化为0。这样做有一个最大的好处，就是可以回避 反向弧 的存在，这个下面详细叙述。
本题中要注意的是：
- 如果输入中，某一点上有环，就无视掉。环是否存在不影响最终结果。
- 一般两点之间都是单边，一旦存在双边也没有问题，因为由定义知两个方向的容量一定相等（其实不相等也无妨，因为其中有一条为 反向弧，前面已经提到 反向弧 是可以直接回避、无视的，因此反向弧上的容量为多少就不重要了），而且在寻找增广路的标号过程中，搜索的是未标号的点，就是说
(u,v)这条弧即使是双向的，但一旦从u到达v后，就不能回头了，因为两者都被标记了，即另外一条弧就不起任何作用了。
下面详细说说为什么能够回避反向弧。
首先需要明确，任意一个点j上记录的信息有：
- 寻找增广路时，除超级源s外，增广路上任一点j都有一个唯一的前驱i（i被记录在j）
min{ 从i到j的容流差, l(vi) }- 构图时，除超级汇t外，图上任一点j都会直接指向一些点(这些点作为后继点，同在记录在j)
从这个特点可以知道，从超级源开始寻找增广路时，万一遇到双向边，正向弧，反向弧自动被回避。万一遇到单向边，如果是非饱和正向弧，就会继续走下去；如果是反向弧，这条弧必然是 零弧（每条边初始化流量均为0），从定义知如果增广路有反向弧，它必须要是 非零弧，而且由于反向弧每次都不会经过，所以在改进增广路时反向弧上的流量也不会被改变，永远为0，也就与最终结果无关了。
最后当无法寻找增广路时，最大流就是与 超级源s 直接关联的边上的 流量之和。
AC 源码
/*BFS+压入重标法*/
//Memory Time
//384K 860MS
#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=10001;
int n; //总节点数
int np; //电站数
int nc; //用户数
int line; //线路数
int cap[102][102]; //弧(u,v)的容量
int flow[102][102]; //弧(u,v)的流量
bool vist[102]; //标记点v是否已标号
int s,t; //超级源，超级汇
class info //当前点v的标记信息
{
public:
int pre; //当前点v的前驱u
int lv; //l(v)
int nei[101]; //当前节点直接指向的邻居节点
int pn; //邻居节点的指针
}node[102];
int min(int a,int b)
{
return a<b?a:b;
}
void back(void)
{
int x=t;
while(x!=s)
{
flow[ node[x].pre ][x] += node[t].lv; //改进增广路
x=node[x].pre;
}
return;
}
bool bfs(void)
{
memset(vist,false,sizeof(vist));
node[s].pre=-1;
node[s].lv=inf;
vist[s]=true;
int queue[102];
int head=0;
int tail=0;
queue[tail++]=s;
while(head<=tail-1) //注意，这是再也找不到增广路的结束条件
{
int x=queue[head];
int y;
for(int i=0;i<node[x].pn;i++)
{
y=node[x].nei[i];
if(!vist[y] && flow[x][y]<cap[x][y]) //搜索的目标要求是 未标记 & 非饱和弧
{
queue[tail++]=y;
vist[y]=true;
node[y].pre=x;
node[y].lv=min( node[x].lv , cap[x][y]-flow[x][y] );
}
if(vist[t]) //当超级汇被标记
break;
}
if(!vist[t])
head++;
else
return true; //搜索到一条增广路
}
return false;
}
int main(int i,int j,int u,int v,int z,char temp)
{
while(cin>>n>>np>>nc>>line)
{
/*Initial*/
s=n;
t=n+1;
for(i=0;i<n+1;i++)
node[i].pn=0;
/*Input & Structure Maps*/
for(i=1;i<=line;i++)
{
cin>>temp>>u>>temp>>v>>temp>>z;
if(u==v)
continue; //不需要环
cap[u][v]=z;
flow[u][v]=0; //每条边的流量都初始化为0
node[u].nei[ node[u].pn++ ]=v;
}
for(i=1;i<=np;i++)
{
cin>>temp>>v>>temp>>z;
cap[s][v]=z; //建立超级源，指向所有电站
flow[s][v]=0;
node[s].nei[ node[s].pn++ ]=v;
}
for(i=1;i<=nc;i++)
{
cin>>temp>>u>>temp>>z;
cap[u][t]=z; //建立超级汇，被所有用户指向
flow[u][t]=0;
node[u].nei[ node[u].pn++ ]=t;
}
/*标号法找增广轨*/
while(true)
{
if(bfs()) //如果能搜到到增广路
back(); //从超级汇开始回溯,改进增广路
else
{
int max=0; //输出最大流
for(i=0;i<node[s].pn;i++)
max+=flow[s][ node[s].nei[i] ];
cout<<max<<endl;
break;
}
}
}
return 0;
}
