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  • POJ2942 – Knights of the Round Table

    ACM-POJ EXP 173阅读 0评论

    全解题报告索引目录 -> 【北大ACM – POJ试题分类


    大致题意

    亚瑟王要在圆桌上召开骑士会议,为了不引发骑士之间的冲突,并且能够让会议的议题有令人满意的结果,每次开会前都必须对出席会议的骑士有如下要求:

    1、 相互憎恨的两个骑士不能坐在直接相邻的2个位置;

    2、 出席会议的骑士数必须是奇数,这是为了让投票表决议题时都能有结果。

    如果出现有某些骑士无法出席所有会议(例如这个骑士憎恨所有的其他骑士),则亚瑟王为了世界和平会强制把他剔除出骑士团。

    现在给定准备去开会的骑士数n,再给出m对憎恨对(表示某2个骑士之间使互相憎恨的),问亚瑟王至少要剔除多少个骑士才能顺利召开会议?


    注意

    1、所给出的憎恨关系一定是双向的,不存在单向憎恨关系。

    2、由于是圆桌会议,则每个出席的骑士身边必定刚好有2个骑士。即每个骑士的座位两边都必定各有一个骑士。

    3、一个骑士无法开会,就是说至少有3个骑士才可能开会。

    解题思路

    综合性非常强的图论题,在说解题报告之前,我建议大家先对以下内容有所认识,否则本题是很难做下去的:

    1、补图 的定义

    2、双连通分量 的定义

    3、二分图 的定义

    4、奇圈 的定义

    5、判定一个图是否为二分图的方法:交叉染色法

    6、Tarjan算法

    上述知识点用于解决本题的重要性与其编号呈正相关。

    给个有关图论的知识点的传送门:http://www.byvoid.com/blog/biconnect/


    最后要说一下的是,或者大家在看我这篇解题报告之前,已经看过其他解题报告,都不谋而合地给出了求割点的方法。

    这里我声明一下:本题不需要求割点,我们仅仅是利用了Tarjan算法判定出现割点的过程以及条件而已,但我不建议用Tarjan算法去求无向图的割点,Tarjan算法只适用于求有向图的割点,直接套Tarjan模板用来求无向图割点会出错的。要求无向图的割点建议去看看刘汝佳的《算法艺术与信息学竞赛》,那里有详细方法。这些话与本题无关,我就不多说了。


    为了方便大家做题,我这里大概说一下上述的6个知识点,注意下述是我通俗的理解,不是标准定义:

    1、 补图

    图G的补图~G就是把图G原有的边全部删去,原本不存在的边全部连上。

    2、双连通分量

    简单来说,无向图G如果是双连通的,那么至少要删除图G的2个结点才能使得图G不连通。换而言之,就是图G任意2个结点之间都存在两条以上的路径连接(注意:路径不是指直接相连的边),那么双连通分量就是指无向图G的子图G’是双连通了。

    3、二分图

    二分图又叫二部图,这个百度百科有定义,了解一下二分图是什么样子的可以了,无需深入去了解。不懂得同学等到做二分图的题目时再认真学吧。

    4、 奇圈

    用一条线把奇数个点串连起来,所得到的闭合的圈就是奇圈了。其实奇圈就是有奇数个顶点的环。

    5、交叉染色法判定二分图

    初始化所有结点为无色(颜色0)状态,用DFS遍历一个图G的同时,顺便对结点染色(只染1、2色),注意遍历过的结点还可以再遍历重新上色。让遍历到某个时候在对结点t染色时,发现边s->t的另一个结点s已染色,且s的颜色与当前正在对t染的颜色相同,那么图G必定不是二分图。

    这是因为想象一下二分图就像是河的两岸有两排结点,每染色一次则过河一次,那么相同颜色的结点必定在同一侧。一旦出现异侧有相同颜色的结点,就可以说明图G不是二分图了。

    6、Tarjan算法

    我希望大家主要去学习一下这个算法的基本原理,尤其是DFN数组和Low数组,还有什么是深搜树,什么是树枝边,什么是后向边。

    学习一下Tarjan算法求割点的过程(注意我上文是建议大家不要用Tarjan算法去求解割点的题,但不是让大家不要看它求割点的过程),因为这个过程是求双连通分量的关键。

    而如果想很好地了解Tarjan算法求割点的过程,还是建议先去看刘汝佳的《算法艺术与信息学竞赛》P285页,然后去做一下POJ1523(纯粹求割点的题)找点感觉。

    只要弄懂了刘汝佳的方法,再看Tarjan算法就非常容易理解了。


    有了上述知识支撑,可以开始解题了:

    1、 利用m对憎恨对构造图G,则图G中有边相连的两个点表示这2个骑士互相憎恨。

    2、 构造图G的补图~G,则图~G中有边相连的两个点表示这2个骑士可以坐在相邻位置。

    3、 在图~G中,可能存在某些点的度数<=1,就是说这些骑士旁边最多只能坐另一个骑士,根据圆桌的座位要求每个骑士k的座位两边都必定各有一个骑士(k度数==2),那么我们认为这些度数<=1的点是孤立的或者是单连通的,也就是说他们不在圆桌的“环”内。

    例如上图,我们利用图G构造补图~G后,显然骑士1的度=0,他是孤立的、不连通的;骑士5的度=1,他是单连通的;骑士{2,3,4}则构成一个双连通分量,他们正在圆桌“环”内开会。显然度数<=1的骑士1和骑士5都在环外,不满足出席会议的条件,亚瑟王为了维护世界和平自然会把这2人驱逐出骑士团。

    4、 现在问题是,我们怎么才能知道哪些骑士在环外?

    我们可以把问题转化为,我们怎么才能知道哪些骑士在环内?显然在环内的所有结点都是双连通的,我们可以通过Tarjan算法求双连通分量。注意,补图~G可能有几个双连通子图,即它可能有不止一组双连通分量,而Tarjan算法是一组一组双连通分量求出来的,因此每求出一组双连通分量我们就要马上处理一组。

    下面都是针对某一组双连通分量的处理

    5、 骑士在双连通分量内(在环内),并不能就此就说明它可以出席会议了,因为假如这个骑士所在的双连通分量,不是一个奇数顶点的环(奇圈),而是一个偶数顶点的环,那么这个双连通分量内的全部骑士都要被亚瑟王开除。

    6、 那么怎样判断一个双连通分量是奇圈呢?

    首先我们要接受两条定理,想知道证明过程的可以上网找,这里不证明:

    (1) 如果一个双连通分量内的某些顶点在一个奇圈中(即双连通分量含有奇圈),那么这个双连通分量的其他顶点也在某个奇圈中;

    (2) 如果一个双连通分量含有奇圈,则他必定不是一个二分图。反过来也成立,这是一个充要条件。

    由于双连通分量也是一个图,那么要判断双连通分量是否为奇圈,只需判断这个双连通分量是否为一个二分图,而要判断一个图是否为二分图,就用交叉染色法!

    7、 显然所有在奇圈中的骑士,都是允许出席会议的,而由于可能有部分骑士允许出席一个以上的会议(即他们是2个以上的奇圈的公共点),那么为了避免重复统计人数,当我们判断出哪些骑士允许出席会议时,就把他们做一个标记(相同的骑士只做一个标记)。最后当Tarjan算法结束后,我们统计一下被标记的人数有多少,再用总人数减去这部分人,剩下的就是被亚瑟王剔除的人数了。


    说到这里,本题就已经解出来了,所有知识点都被联系起来了。老实说做完这题还很有成就感的O(∩_∩)O哈!

    几点小建议

    1、 为方便输入,图G用邻接矩阵存储,但为了后期处理数据方便,补图~G则最好改用邻接链表,图G唯一的作用就只有生成补图~G而已。

    2、 给结点和边都独立开辟一个存储结构。结点是为了链表处理,边是为了Tarjan求双连通分量时的压栈。

    3、 在弄清楚知识点之前不要盲目做这题,最好先找相关知识点的简单一点的题目做一下练笔。我在Disscuss上发现有同学做这题用了4个月,而我算上做练笔题的时间,前后只用了2天。


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