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  • POJ3373 – Changing Digits

    ACM-POJ EXP 136阅读 0评论

    全解题报告索引目录 -> 【北大ACM – POJ试题分类


    大致题意

    给出2个整数n(n<10^100)和k(k<10000),求满足以下条件的整数m

    1、m与n位数相同

    2、m能被k整除

    3、满足以上两点时,m和n在相同位置的地方,数字不同的个数最少

    4、满足以上三点时,m值最小

    解题思路

    这题解法很多,有人用DP,有人用记忆化搜索,有人搜索+强剪枝

    POJ分类把这题归入“记忆化搜索”,但是我不推荐,原因在于直接写出记忆化搜索算法去解题不容易,不先用DP做出来,记忆化搜索很难实现


    我用的是DFS+强剪枝

    我做这题的时候,基本无任何思路,本来想参考一下网上前辈的做法,但基本全部都是乱七八糟东拼西凑胡说八道,我下面根据我自己的思路说一下清晰的解题过程,这个思路是借鉴了一下别人的做法,但是绝对清晰。


    下面进入正题:

    1、问题的有解性

    设n%k=n_MODk,由抽屉原理可知,在[0,k-1]这k个顺序自然数中,必有一个数与n_MODk是同余类。而依题意知k<=n,那么说明这题必有解。

    但是这个只能证明DFS是可以寻找到解的,但是不能对解题带来任何帮助。

    我不知道是哪个那么缺德,在网上散播谣言说“由于k最多只有5位,根据抽屉原理我们最多只要改变n最后5位数字就能找到答案”。

    这是绝对错误的。因为这种做法无法满足条件4。

    由于此,可能有同学做这题时,为了省时间,只搜索n的最后len(k)位,但总得不到结果却不知为何。这种做法错在:当把n低位数字中的1个改小后能够使得n_MODk==0,但若把n高位数字中的1个改小后同样能够使得n_MODk==0,那么为了满足条件4,必然是取后者,抽屉原理的“只要改变n最后5位数字”却不能满足这个条件。

    正确的说法应该是“最多改变n中的5位数字就能得到解”,但实际解题时没必要应用抽屉原理,由于DFS搜索到的第一个解必为最优,因此AllowNum从1个到len(n)个逐个枚举即可,这样可以避免讨论len(n)是否大于5。


    2、寻解的有序性

    首先必须注意,这题的条件具有层次性,条件1优先于条件2,条件2优先于条件3,条件3优先于条件4,。而由于数据量很大,为了节省搜索时间,我们必须保证DFS搜索到的第一个答案就是最优,因此这就无形之中规定了DFS的搜索方向


    3、高精度处理

    n的位数最多为101位,以往求n_MODk的方法都是利用同余模公式,从高位开始向低位逐位求模,但是本题为了后续DFS需要,用了一个稍微改变的方式求n_MODk。

    先把n倒序存放。

    定义数组mod[101][10],mod[i][j]=((10^i)*j)%k,先求出:

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (%k)

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 (%k)

    0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 (%k)

    …..

    通过递推式mod[i][j]=(mod[i-1][j]*10)%k; 就能避免n次方的运算,节省时间。

    由此mod[][]就能组合出任意len(n)位内的整数对k求模后的值。那么利用同余模公式就能求得n_MODk。


    4、DFS搜索方法

    传参有3个:pos,RestNum,m_MODk

    Pos:当前搜索区间为[0,pos]

    RestNum:在区间[0,pos]中剩余 允许改变的数字的个数,个数从1个到len(n)个枚举,保证搜索到解时,n与m在相同位置处不同数字的个数是最少的(条件3)。

    m_MODk:当前数字串m对k求模的值,初始化为n_MODk。

    入口处理

    每次入口都有pos=len-1,是为了保证搜索区间最大。

    (1)搜索时先搜索比n小的数字,此时为了搜索到的解m是最小的,应该从区间[0,pos]的第pos位开始向第0位搜索,因为在相同RestNum情况下,把高位数字变小所得到的m值更小。

    (2)当(1)无解时,搜索比n大的数字,此时为了搜索到的解m是最小的,应该从区间[0,pos]的第0位开始向第pos位搜索,因为在相同RestNum情况下,把低位数字变大所得到的m值更小。

    出口处理

      m_MODk==0返回true

      RestNum=0 返回 false


    5、关于第三个参数值m_MODk的传递:

    由于数字串m随着搜索的深度时刻变化,若每次变化后,再按求n_MODk的方法重新求m_MODk是相当浪费时间的。此时就要利用同余模公式和mod数组。

    搜索比n小的数字时所用到的同余模公式为:

      (a-b)%k=(a%k – b%k)%k

    搜索比n大的数字时所用到的同余模公式为:

      (a+b)%k=(a%k + b%k)%k

    (1)搜索比n小的数字时,当把m的第i位数字m[i]改为j时,我们已经有((10^i)*m[i])%k的值存放在数组mod[i][m[i]]中,又有((10^i)*j)%k的值存放在数组mod[i][j]中,那么把m值改小前后的变化值为(mod[i][m[i]]- mod[i][j]),然后我们又知道m改变前的模k值为m_MODk。那么只需把m改变前的m_MODk减去变化值(mod[i][m[i]]- mod[i][j]),再对k取模,就是新的m_MODk值,我们令其等于res。

    而为了避免m_MODk < (mod[i][m[i]]- mod[i][j])而出现负数,我们应该增加一个“+k”修正处理,那么具体公式如下:

      res=(m_MODk-(mod[i][m[i]]-mod[i][j])+k)%k;

    以数字5234,k=25为例,在本算法中数组m实际存放为数字的倒序4321,首位为第0位的“4”,同样mod[][]存放的是倒序数据。

      数据存放:m[]=4325, k=27

    已知m_MODk=5234%27=22,现在要把m的第3位的“5”修改为更小的“1”,已有m[3]=5,设j=1,即令m[3]=j,显然改变后实际的变化值为5000-1000=4000

    我们现在要求的是m改变后的 1234%27的值,而1234%25=(5234%27 – 4000%27)%27。由于5234%27=m_MODk=22已知,那么只需求4000%27。

    而4000%27=(5000%27-1000%27)%27,显然5000%27和1000%27已经保存在mod[][]中。5000%27=mod[3][ m[3] ] ,1000%27=mod[3][ j ],说到这里应该都了解了。

    (2)搜索比n大的数字时,道理差不多,只不过变化值相减的方向要改变。而且由于是m_MODK+变化值,即不会出现负数,因此无需“+k”修正,具体公式如下:

      res=(m_MODk+(mod[i][j]-mod[i][m[i]]))%k;


    6、关于剪枝:

    定义二维数组 int** flag

      flag[pos][m_MODk]=RestNum

    当搜索m的位置区间为[0,pos],且当前数字串m对k取模值为m_MODk时,

    若剩下允许的修改数字的个数只允许修改RestNum个,

    则无论如何修改区间[0,pos]内的数字也无法使得m_MODk==0,

    那么对于同样的pos和m_MODk, 小于RestNum的个数则更加不可能了


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