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  • POJ1015 – Jury Compromise

    ACM-POJ EXP 213阅读 0评论

    全解题报告索引目录 -> 【北大ACM – POJ试题分类


    大致题意

    在遥远的国家佛罗布尼亚,嫌犯是否有罪,须由陪审团决定。陪审团是由法官从公众中挑选的。先随机挑选n 个人作为陪审团的候选人,然后再从这n 个人中选m 人组成陪审团。选m 人的办法是:控方和辩方会根据对候选人的喜欢程度,给所有候选人打分,分值从0 到20。为了公平起见,法官选出陪审团的原则是:选出的m 个人,必须满足辩方总分D和控方总分P的差的绝对值|D-P|最小。如果有多种选择方案的|D-P| 值相同,那么选辩控双方总分之和D+P最大的方案即可。

    输出

    选取符合条件的最优m个候选人后,要求输出这m个人的辩方总值D和控方总值P,并升序输出他们的编号。

    解题思路

    动态规划

    为叙述问题方便,现将任一选择方案中,辩方总分和控方总分之差简称为“辩控差”,辩方总分和控方总分之和称为“辩控和”。第i 个候选人的辩方总分和控方总分之差记为V(i),辩方总分和控方总分之和记为S(i)。

    现用dp(j, k)表示,取j 个候选人,使其辩控差为k 的所有方案中,辩控和最大的那个方案(该方案称为“方案dp(j, k)”)的辩控和。

    并且,我们还规定,如果没法选j 个人,使其辩控差为k,那么dp(j, k)的值就为-1,也称方案dp(j, k)不可行。本题是要求选出m 个人,那么,如果对k 的所有可能的取值,求出了所有的dp(m, k) (-20×m≤ k ≤ 20×m),那么陪审团方案自然就很容易找到了。

    问题的关键是建立递推关系。需要从哪些已知条件出发,才能求出dp(j, k)呢?显然,方案dp(j, k)是由某个可行的方案dp(j-1, x)( -20×m ≤ x ≤ 20×m)演化而来的。

    可行方案dp(j-1, x)能演化成方案dp(j, k)的必要条件是:存在某个候选人i,i 在方案dp(j-1, x)中没有被选上,且x+V(i) = k。在所有满足该必要条件的dp(j-1, x)中,选出 dp(j-1, x) + S(i) 的值最大的那个,那么方案dp(j-1, x)再加上候选人i,就演变成了方案 dp(j, k)。

    这中间需要将一个方案都选了哪些人都记录下来。不妨将方案dp(j, k)中最后选的那个候选人的编号,记在二维数组的元素path[j][k]中。那么方案dp(j, k)的倒数第二个人选的编号,就是path[j-1][k-V[path[j][k]]]。假定最后算出了解方案的辩控差是k,那么从path[m][k]出发,就能顺藤摸瓜一步步回溯求出所有被选中的候选人。

    初始条件,只能确定dp(0, 0) = 0,其他均为-1。由此出发,一步步自底向上递推,就能求出所有的可行方案dp(m, k)( -20×m ≤ k ≤ 20×m)。实际解题的时候,会用一个二维数组dp 来存放dp(j, k)的值。而且,由于题目中辩控差的值k 可以为负数,而程序中数租下标不能为负数,所以,在程序中不妨将辩控差的值都加上修正值fix=400,以免下标为负数导致出错。

    为什么fix=400?这是很显然的,m上限为20人,当20人的d均为0,p均为20时,会出现辨控差为-400。修正后回避下标负数问题,区间整体平移,从[-400,400]映射到[0,800]。

    此时初始条件修正为dp(0, fix) = 0,其他均为-1。

    DP后,从第m行的dp(m, fix)开始往两边搜索最小|D-P| 即可,第一个不为dp[m][k]!=-1的位置k就是最小|D-P|的所在。

    最后就是求m个人的D和P,由于D+P = dp(m, |D-P| ) ,|D-P|已知。

    那么D= (D+P + |D-P| )/2 , P=(D+P-|D-P| ) / 2

    计算D和P时注意修正值fix

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