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  • POJ1845 – Sumdiv

    ACM-POJ EXP 167阅读 0评论

    全解题报告索引目录 -> 【北大ACM – POJ试题分类


    大致题意

    求A^B的所有约数(即因子)之和,并对其取模 9901再输出。

    解题思路

    要求有较强 数学思维 的题

    应用定理主要有三个:

    (1) 整数的唯一分解定理

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*….*(pn^kn) 其中pi均为素数

    (2) 约数和公式

      对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*….*(pn^kn)

      有A的所有因子之和为

      S = (1+p1+p1^2+p1^3+…p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * …. * (1+pn+pn^2+pn^3+…pn^kn)

    (3) 同余模公式

      (a+b)%m=(a%m+b%m)%m

      (a*b)%m=(a%m*b%m)%m


    有了上面的数学基础,那么本题解法就很简单了:

    1: 对A进行素因子分解

    分解A的方法:

    A首先对第一个素数2不断取模,A%2==0时 ,记录2出现的次数+1,A/=2;

    当A%2!=0时,则A对下一个连续素数3不断取模…

    以此类推,直到A==1为止。

    注意特殊判定,当A本身就是素数时,无法分解,它自己就是其本身的素数分解式。

    最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 pn^kn.
    故 A^B = p1^(k1B) * p2^(k2B) pn^(kn*B);

    2:A^B的所有约数之和为

      sum = [1+p1+p1^2+…+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+…+p2^(a2*B)] *…* [1+pn+pn^2+…+pn^(an*B)].

    3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+…+pi^n

    (1)若n为奇数,一共有偶数项,则:

      1 + p + p^2 + p^3 +…+ p^n
       = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +…+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
       = (1 + p + p^2 +…+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

    上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半,那么只需要不断递归二分求和就可以了,后半部分为幂次式,将在下面第4点讲述计算方法。

    (2)若n为偶数,一共有奇数项,则:

      1 + p + p^2 + p^3 +…+ p^n
       = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +…+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
       = (1 + p + p^2 +…+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

    上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半,依然递归求解

    4:反复平方法计算幂次式p^n

    这是本题关键所在,求n次幂方法的好坏,决定了本题是否TLE。

    以p=2,n=8为例

    常规是通过连乘法求幂,即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

    这样做的要做8次乘法

    而反复平方法则不同,

    定义幂sq=1,再检查n是否大于0,

    While,循环过程若发现n为奇数,则把此时的p值乘到sq

    {

     n=8>0 ,把p自乘一次, p=p*p=4 ,n取半 n=4

     n=4>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=16 ,n取半 n=2

     n=2>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=256 ,n取半 n=1,sq=sq*p

     n=1>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=256^2 ,n取半 n=0,弹出循环

    }

    则sq=256就是所求,显然反复平方法只做了3次乘法

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